9  Derivadas - Parte 1

Anotações das aulas

Definição

Sejam \(y = f(x)\) uma função e \(p\) um ponto do seu domínio, o limite …

\[\lim_{h \to 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h}\]

… , quando existe e é finito denomina-se derivada de \(f\) em \(p\) e é idenficado por \(f'(p)\).

Obs: se \(f\) for derivável em \(p\), então a reta da equação \(y = f'(p)(x-p) + f(p)\) é a reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \((p, f(p))\).

Reta tangente

Anotações:

• Reta secante: passa por 2 pontos da circunferência

• Reta tangente: passa por apenas 1 ponto da circunferência

• Reta tangente em um gráfico em um ponto \(p\):

  • Só depende do ponto \(p\) e perto do ponto \(p\).
  • é um conceito local, depende do \(\lim\).

• A reta tangente é o limite das retas secantes: A reta tangente pode ser obtida como o limite das retas secantes, à medida que os dois pontos usados para formar a secante se aproximam um do outro.

Lista de derivadas importantes

• \(f(x) = sen x \implies f'(x) = \cos x\)

• \(f(x) = \cos x \implies f'(x) = -\sin x\)

• \(f(x) = \tan x \implies f'(x) = \sec^2 x\)

P24

Seja \(r\) uma reta no plano \(\mathbb{R}^2\).

1.

O que é o coeficiente angular \(m\) de \(r\)?

Vamos desenhar uma reta \(y = mx + b\).

Como chegamos em \(m = \tan x\)?

Primeiro, vamos pensar no círculo unitário e a reta \(f(x) = mx + b\).

Vamos pensar na semelhança de triângulos! O triângulo menor é o que está dentro do círculo unitário e o triângulo maior é o que está fora do círculo unitário.

O raio do círculo unitário é 1.

\[ \frac{\tan \theta}{1} = \frac{b}{a} \]

No gráfico acima, \(b = \sin \theta\) e \(a = \cos \theta\).

\[ \tan \theta = \frac{sen \theta}{cos \theta} \]

2.

O que acontece quando \(m = 0\)? \(m>0\)? \(m<0\)?

Quando \(m = 0\), a reta é horizontal (paralela ao eixo \(x\)).

Quando \(m > 0\), a reta é crescente.

Quando \(m < 0\), a reta é decrescente.

P25

Escreva a equação da reta \(r\) passando pelo ponto \((x_0, y_0)\) com coeficiente angular \(m\).

Tentei reproduzir os desenhos, mas as minhas anotações não estavam muito boas.

Para escrever a equação de uma reta, precisamos de 2 pontos. No gráfico abaixo, temos os pontos \((x_0, y_0)\) e \((x, y)\).

Podemos considerar o triângulo formado pelos pontos indicados. O triângulo é semelhante ao “maior” triângulo (o que é formado com o ponto onde a reta cruza o eixo \(x\)).

Vamos pensar no triângulo “menor”:

• A tangente do ângulo \(\theta\) é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente.
• O cateto oposto é \(y - y_0\) e o cateto adjacente é \(x - x_0\).

Temos que:

\[ \tan \theta = \frac{y - y_0}{x - x_0} = m \] O coeficiente angular \(m\) representa a tangente do ângulo \(\theta\) que a reta faz com o eixo \(x\).

P26. Seja \(f(x) = x^2\). Calcule:

1. \(f'(2)\)

Calculando a derivada para um ponto específico:

\[ \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \]

Agora podemos resolver o limite! Fatorar.

\[ = \lim_{x \to 2} \frac{\cancel{(x-2)}(x+2)}{\cancel{x - 2}} \] Podemos utilizar a substituição direta:

\[ = \lim_{x \to 2} x+2 = 4 \]

2. \(f'(p), \forall \space p \in \mathbb{R}\)

Calculando a derivada para um ponto genérico \(p\):

\[ \lim_{x \to p} \frac{f(x) - f(p)}{x - p} = \lim_{x \to p} \frac{x^2 - p^2}{x - p} \] Fatorar o limite:

\[ = \lim_{x \to p} \frac{\cancel{(x-p)}(x+p)}{\cancel{(x - p)}} \] \[ = \lim_{x \to p} \cancelto{p}{x} + p = 2p \]

3. \(f'(x), \forall \space x \in \mathbb{R}\)

Considerando o exercício anterior, podemos generalizar o resultado (em vez de \(p\), vamos usar \(x\)). Assim, encontramos a função derivada, que nos dá a taxa de variação de \(f(x) = x^2\) em qualquer ponto:

\[ f(x) = x^2 \]

\[ f'(x) = 2x \]

P27

Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(x) = \sin x\) no ponto \((0,0)\).

\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - 0}{x - 0} \] Esse é o limite fundamental:

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \] A inclinação da reta tangente da função \(\sin x\), no ponto \((0, 0)\), é 1. Veja o gráfico abaixo:

P28. Calcule \(f'(x)\) onde:

• Dica: veja primeiro o item 4.

1. \(f(x) = x^3, \forall \space x \in \mathbb{R}\)

\[ f'(x) = 3 \cdot x^{2} \]

2. \(f(x) = x, \forall \space x \in \mathbb{R}\)

\[ f'(x) = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^{0} = 1 \]

Outra forma:

\[ f'(x) = \lim_{x \to p} \frac{f(x) - f(p)}{x - p} \] \[ = \lim_{x \to p} \frac{x - p}{x - p} = \lim_{x \to p} \space 1 = 1 \]

3. \(f(x) = k, \forall \space x \in \mathbb{R}\), onde \(k \in \mathbb{R}\)

Pensar no gráfico de uma função constante: é uma linha reta, sem inclinação. Então a derivada é zero.

\[ f'(p) = \lim_{x \to p} \frac{f(x) - f(p)}{x - p} \] \[ = \lim_{x \to p} \frac{k - k}{x - p} = \lim_{x \to p} \frac{0}{x - p} = \lim_{x \to p} 0 = 0 \]

4. \(f(x) = x ^ n, \forall \space x \in \mathbb{R}\), onde \(n \in \mathbb{N}^*\)

\[ f'(x) = n \cdot x^{n-1} \]

\[ f'(p) = \lim_{x \to p} \frac{f(x) - f(p)}{x - p} = \lim_{x \to p} \frac{x^n - p^n}{x - p} \]

Lembremos:

\[ a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1}) \]

\[ = \lim_{x \to p} \frac{\cancel{(x - p)}(x^{n-1} + x^{n-2}p + ... + xp^{n-2} + p^{n-1})}{\cancel{(x - p)}} \]

\[ = \lim_{x \to p} (\cancelto{p ^{n-1}}{x^{n-1}} + \cancelto{p ^{n-1}}{x^{n-2}p} + ... + \cancelto{p ^{n-1}}{xp^{n-2}} + \cancelto{p ^{n-1}}{p^{n-1}}) \]

\[ = \lim_{x \to p} n \cdot p^{n-1} \]

5. \(f(x) = \sin x, \forall \space x \in \mathbb{R}\)

Feito no exercício 36.2.

P29

Calcule, caso exista, \(f'(0)\) onde \(f(x) = |x|,\forall \space x \in \mathbb{R}\).

\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{|x| - 0}{x - 0} \]

Vamos pensar nos limites laterais!

\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1 \]

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 \] Os limites laterais existem e são diferentes. Portanto, o limite não existe.

\[ \nexists \lim_{x \to 0} \frac{|x| - 0}{x - 0} \]

Se o limite não existe, a função não é derivável em \(x = 0\).

A função \(f(x) = |x|\) não é derivável em \(x = 0\) porque não possui reta tangente bem definida nesse ponto — o gráfico apresenta um “bico”, indicando uma mudança brusca na direção.

Lembrando do gráfico da função \(f(x) = |x|\): ela forma um “bico”!

P30

Seja \(f\) uma função derivável em \(p \in \mathbb{R}\). Mostre que \(f\) é contínua em \(p\).

Para a função ser derivável em um ponto \(p\), ela precisar ter a reta tangente no ponto \(p\).

Se \(f\) é derivável em \(p\), então ela deve ser contínua em \(p\).

Pedi ajuda para o Julio. A dica dele foi: partindo de \(f(x)\), queremos chegar em \(f(p)\). Depois, podemos fazer as verificações usadas para mostrar que a função é contínua.

Primeiro, vamos somar e subtrair \(f(p)\): \[ f(x) = f(x) \color{red}{- f(p) + f(p)} \]

Depois, vamos multiplicar e dividir \(f(x) - f(p)\) por \(x - p\):

\[ f(x) = f(x) - f(p) \color{red}{\cdot \frac{x - p}{x - p}} \color{black}{+ f(p)} \]

Podemos reescrever da seguinte forma:

\[ f(x) = \frac{f(x) - f(p)}{x - p} \cdot (x - p) + f(p) \]

\[ f(x) = \cancelto{f'(p)}{\frac{f(x) - f(p)}{x - p}} \cdot \cancelto{0}{(x - p)} + f(p) \]

\[ \lim_{x \to p} f(x) = f(p) \]

Logo \(f\) é contínua em \(p\).

P31

Seja \(f(x) = |x|\). Mostre que f é contínua em \(p=0\), mas não é derivável em \(p=0\).

Exemplo de função contínua, mas não derivável.

• \(f\) é contínua quando \(p = 0\) (ela não tem “pulo” ou buracos).

• \(f\) não é derivável quando \(p = 0\) (ela forma “bico”, e não conseguimos fazer a reta tangente.

\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{|x| - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} \] Calcular os limites laterais:

\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1 \]

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 \]

Os limites laterais existem e são diferentes. Portanto, o limite não existe.

\[ \nexists \lim_{x \to 0} \frac{|x| - 0}{x - 0} \] Portanto, a função não é derivável em \(p = 0\).

\[ \nexists f'(0) \]

Obs: A função não pode formar bico no ponto que queremos derivar!!

P32

Sejam \(f\) e \(g\) funções deriváveis em \(p \in \mathbb{R}\). Mostre que \(h(x) = f(x) + g(x)\) é derivável em \(p\) e \(h'(p) = f'(p) + g'(p)\).

A derivada da função soma é a soma das derivadas.

\[ h'(p) = \lim_{x \to p} \frac{h(x) - h(p)}{x - p} \]

Considerando que \(h(x) = f(x) + g(x)\) e \(h(p) = f(p) + g(p)\), temos:

\[ = \lim_{x \to p} \frac{f(x) + g(x) - (f(p) + g(p))}{x - p} \] Podemos reescrever a expressão:

\[ = \lim_{x \to p} \frac{f(x) + g(x) - f(p) - g(p)}{x - p} \]

Reorganizando mais um pouco:

\[ = \lim_{x \to p} \frac{f(x) - f(p)}{x - p} + \frac{ g(x) - g(p)}{x - p} \]

Considerando que:

\[ \lim_{x \to p} \frac{f(x) - f(p)}{x - p} = f'(p) \]

\[ \lim_{x \to p} \frac{g(x) - g(p)}{x - p} = g'(p) \]

Então:

\[ h'(p) = f'(p) + g'(p) \]

P33

Sejam \(f\) e \(g\) funções deriváveis em \(p \in \mathbb{R}\). Mostre que \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\) é derivável em \(p\) e \(h'(p) = f'(p) \cdot g(p) + f(p) \cdot g'(p)\).

\[ h'(p) = \lim_{x \to p} \frac{h(x) - h(p)}{x - p} \]

Considerando que \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\) e \(h(p) = f(p) \cdot g(p)\), temos:

\[ = \lim_{x \to p} \frac{f(x) \cdot g(x) - f(p) \cdot g(p)}{x - p} \]

Podemos somar e subtrair \(f(p) \cdot g(x)\):

\[ = \lim_{x \to p} \frac{f(x) \cdot g(x) - f(p) \cdot g(p) \color{red}{ - f(p) \cdot g(x) + f(p) \cdot g(x)}}{\color{black}{x - p}} \]

Reorganizar:

\[ = \lim_{x \to p} g(x) \cdot [\frac{f(x) - f(p)}{x - p}] + f(p) \cdot [\frac{g(x) - g(p)}{x - p}] \]

Simplificar:

\[ = \lim_{x \to p} \cancelto{g(p)}{g(x)} \cdot \cancelto{f'(p)}{[\frac{f(x) - f(p)}{x - p}]} + f(p) \cdot \cancelto{g'(p)}{[\frac{g(x) - g(p)}{x - p}]} \]

\[ h'(p) = g(p) \cdot f'(p) + f(p) \cdot g'(p) \] Considerando que este resultado vale para todo o \(p\), podemos reescrever como \(h'(x)\):

\[ h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]

P34

Seja \(g\) uma função derivável em \(p\), com \(g(p) \neq 0\). Mostre que \(h(x) = \frac{1}{g(x)}\) é derivável em \(p\) e \(h'(p) = \frac{-g'(p)}{g(x)^2}\).

Definição de derivadas: \[ h'(p) = \lim_{x \to p} \frac{h(x) - h(p)}{x - p} \]

Substituindo \(h(x)\) e \(h(p)\):

\[ = \lim_{x \to p} \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(p)}}{x - p} \]

Fazer o mínimo múltiplo com \(g(x)\) e \(g(p)\):

\[ = \lim_{x \to p} \frac{\frac{g(p) - g(x)}{g(x) \cdot g(p)}}{x - p} \] A expressão acima pode ser reescrita como:

\[ = \lim_{x \to p} \frac{g(p) - g(x)}{g(x) \cdot g(p)} \cdot \frac{1}{(x - p)} \]

Podemos continuar a fazer manipulações algébricas:

\[ = \lim_{x \to p} \frac{-[g(x) - g(p)]}{x-p} \cdot \frac{1}{g(x) \cdot g(p) } \]

\[ = \lim_{x \to p} - \cancelto{g'(p)}{\frac{g(x) - g(p)}{x-p}} \cdot \frac{1}{\cancelto{g(p)}{g(x)} \cdot g(p) } \]

Portanto:

\[ h'(p) = \frac{g'(p)}{g(p)^2} \]

P35

Sejam \(f\) e \(g\) funções deriváveis em \(p\), com \(g(p) \neq 0\). Mostre que \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\) é derivável em \(p\) e..

\[ h'(p) = \frac{f'(p) \cdot g(p) - f(p) \cdot g'(p)}{g(p)^2} \] Podemos reescrever como:

\[ h(x) = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \] Isso se conecta com o exercício anterior, onde encontramos a derivada de \(h(x) = \frac{1}{g(x)}\) (sendo \(h'(x) = \frac{-g'(x)}{g(x)^2}\).

Logo, precisamos utilizar a regra do produto: a derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.

\[ h'(x) = f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \frac{-g'(x)}{g(x)^2} \]

Podemos fazer o mínimo múltiplo:

\[ h'(x)= \frac{f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot - g'(x)}{g(x) \cdot g(x)} \]

Podemos reescrever como: \[ h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} \]

P36. Ache \(h'(x)\) onde:

1. \(h(x) = x^5\) - Regra da potência

\[ h'(x) = 5 \cdot x^{4} \]

2. \(h(x) = \sin x\)

\[ f'(p) = \lim_{x \to p} \frac{f(x) - f(p)}{x - p} = \lim_{x \to p} \frac{\sin x - \sin p}{x - p} \]

Nota

\[ \sin (a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b \]

\[ \sin (a-b) = \sin a \cdot \cos b - \cos a \cdot \sin b \]

\[ - \sin (a - b) = -\sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b \]

Considerando as últimas duas expressões:

\[ \sin (a + b) - \sin (a - b) = 2 \cdot \cos a \cdot \sin b \]

Considerando \((a+b) = x\) e \((a-b) = p\):

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} a + b &=& x, \\ a - b &=& p, \\ \hline 2a &=& x + p \end{array} \right. \]

\[ a = \frac{x + p}{2} \]

\[ a + b = x \implies b = x - a \]

\[ = x - (\frac{x + p}{2}) \] \[ = \frac{2x - x - p}{2} = \frac{x - p}{2} \]

Substituindo, temos que:

\[ \sin x - \sin p = 2 \cdot \cos\left(\frac{x + p}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{x - p}{2}\right) \]

Voltando à definição de derivadas:

\[ h(x) = \sin x \implies h'(x) = \lim_{x \to p} \frac{\sin x - \sin p}{x - p} \] Agora podemos substituir a expressão que encontramos (\(\sin x - \sin p\)):

\[ = \lim_{x \to p} \frac{2 \cdot \cos\left(\frac{x + p}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{x - p}{2}\right)}{x - p} \]

Agora podemos tentar chegar no limite fundamental. No denominador, vamos dividir em cima e em baixo por 2, para facilitar a utilização do limite fundamental:

\[ = \lim_{x \to p} \frac{\cancel{2} \cdot \cos\left(\frac{x + p}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{x - p}{2}\right)}{\frac{ (x - p) \color{blue}{\cdot \cancel{2}}}{\color{blue}{2}}} \]

\[ = \lim_{x \to p} \frac{\cos\left(\frac{x + p}{2}\right)}{1} \cdot \frac{\sin\left(\frac{x - p}{2}\right)}{\frac{x - p}{2}} \]

Vamos separar em duas partes, considerando que o limite é o produto de dois limites.

1. Limite fundamental

Podemos fazer uma mudança de variável:

\[ u = \frac{x - p}{2} \]

Quando \(x \to p\), temos que \(u \to 0\): \(\frac{p - p}{2} = 0\).

Reescrevendo o limite, em função de \(u\):

\[ = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 \]

2. Limite da função cosseno

\[ = \lim_{x \to p} \cos\left(\frac{x + p}{2}\right) = \lim_{x \to p} \cos\left(\frac{\cancelto{p}{x} + p}{2}\right) = \cos \frac{2p}{2} = \cos p \]

Juntando tudo:

\[ = \lim_{x \to p} \cos\left(\frac{x + p}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{x - p}{2}\right)}{\frac{x - p}{2}} = 1 \cdot \cos p = \cos p \]

Portanto, a derivada de \(h(x) = \sin x\) é:

\[ h'(x) = \cos x \]

3. \(h(x) = x^5 + \sin x\)

Soma de duas funções deriváveis:

• \(f(x) = x^5 \implies f'(x) = 5 \cdot x^{4}\)
• \(g(x) = \sin x \implies g'(x) = \cos x\)

\[ h'(x) = 5 \cdot x^{4} + \cos x \]

4. \(h(x) = x^5 \cdot \sin x\)

Multiplicação de duas funções deriváveis:

• \(f(x) = x^5\)

• \(g(x) = \sin x\)

\[ h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]

\[ h'(x) = (5 \cdot x^{4}) \cdot (\sin x) + (x^5) \cdot (\cos x) \]

\[ h'(x) = 5 \cdot x^{4} \cdot \sin x + x^5 \cdot \cos x \]

5. \(h(x) = 7 \cdot \sin x\)

Multiplicação de uma funções derivável por uma função constante:

\[ h'(x) = 7 \cdot \cos x \]

Nota

Observação 1: \[ h(x) = k \implies h'(x) = 0 \]

Observação 2: para multiplicação de uma função derivável por uma constante \(k\), a explicação passa pelo produto de duas funções deriváveis:

\[ h(x) = k \cdot f(x) \]

Considere \(g(x) = k\).

\[ h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]

Então:

\[ h'(x) = f'(x) \cdot \cancelto{k}{g(x)} + \cancelto{0}{f(x) \cdot \cancelto{0}{g'(x)}} \]

\[ h'(x) = k \cdot f'(x) \]

6. \(h(x) = \frac{\sin x}{x^5}\)

Divisão de duas funções deriváveis:

\[ h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} \]

\[ h'(x) = \frac{(\cos x) \cdot x^5 - (\sin x) \cdot 5x^4}{(x^5)^2} \] O professor disse que não precisa simplificar, mas podemos fazer:

\[ h'(x) = \frac{x^5 \cdot \cos x - 5x^4 \cdot \sin x}{x^{10}} \]

7. \(h(x) = \sin(x^5)\)

Função composta: precisamos usar a regra da cadeira.

• Função “de dentro”: \(g(x) = x^5\)

• Função “de fora”: \(f(x) = \sin x\)

Regra da cadeia:

\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \] \[ h'(x) = \cos (x^5) \cdot 5x^4 \]

8. \(h(x) = (\sin x) ^5\)

Função composta: precisamos usar a regra da cadeira.

• Função “de dentro”: \(g(x) = \sin x\)

• Função “de fora”: \(f(x) = x^5\)

Regra da cadeia:

\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

\[ h'(x) = 5 \cdot (\sin x)^4 \cdot \cos x \]