5 Limites
Anotações das aulas
Aula 5 - Técnicas para o cálculo de limites
Intuição
Limites laterais (muito útil quando tem módulo)
Fatoração
\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)
Racionalização (destruir raízes!)
Polinômios:
\(\lim_{x \to + \infty} P_{n} (x)\) ou \(\lim_{x \to - \infty} P_{n} (x)\): deixar em evidência a potência de maior grau, quando houver um limite de polinômio com x tendendo à mais ou menos infinito.
\(\lim_{x \to + \infty} \frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)}\) ou \(\lim_{x \to - \infty} \frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)}\): dividir todos os termos do polinômio pelo termo de maior grau. Simplificar o que dá: a maior potência em comum em cima e em baixo.
Aula 4 - Exemplos:
Exemplo 1:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} . x^2 = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cancel{x^2}} . \cancel{x^2} = 1 \]
Exemplo 2:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} . x^4 = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cancel{x^2}} . x^{\cancel{4} \rightarrow 2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1} . x^{2} = \lim_{x \to 0} \cancelto{0}{x^{2}} = 0 \]
Exemplo 3:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^4} . x^2 = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{\cancel{4} \rightarrow 2}} . \cancel{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} = +\infty \]
A intuição da última etapa é: \(x^2\), com \(x\) tendendo a zero, é um número muito pequeno. 1 dividido por um número muito pequeno é um número muito grande. Portanto, o limite é infinito positivo.
Exemplo 4:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} . x = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{\cancel{2} \rightarrow 1 }} . \cancel{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \Rightarrow \nexists \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \]
Lembrando que já vimos o gráfico da função \(f(x) = \frac{1}{x}\), e o limite com x tendendo à zero não existe.
Aula 4 - Exemplos (parte 2)
Exemplo 1
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cancel{x}}{\cancel{x}} = \lim_{x \to 0} \space 1 = 1 \]
Podemos cancelar o \(x\) pois \(x \neq 0\).
Exemplo 2
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = + \infty \]
A intuição é: \(x^2\) com \(x\) tendendo a zero é um número muito pequeno, e \(1\) dividido por um número muito pequeno é um número muito grande. Portanto, o limite é infinito positivo.
Exemplo 3
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \Rightarrow \nexists \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \] Novamente: já vimos o gráfico da função \(f(x) = \frac{1}{x}\), e o limite com x tendendo à zero não existe.
Exemplo 4
\[ \lim_{x \to +\infty} x. \sin \frac{1}{x} = \] Para este exemplo, precisamos utilizar a técnica de mudança de variável.
Seja \(u = \frac{1}{x}\) (estamos criando essa variável para substituir), então \(x = \frac{1}{u}\) (apenas fizemos manipulação algébrica).
Se \(x \to +\infty\) (ou seja, \(x\) for muito grande), e \(u = \frac{1}{x}\), então teremos
\[ u = \frac{1}{\text{número muito grande positivo}} = \\ \text{número muito pequeno e positivo} = 0^+ \]
então \(u \to 0^+\).
Substituindo \(x\) por \(\frac{1}{u}\), temos:
\[ \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u} . \sin u = \] Esse é o caso do limite fundamental do cálculo \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}\), que será explorado em breve.
Aula 5 - P13) Calcule, caso existam, os limites abaixo:
1) Intuição
\[\lim_{x \to 1} \space x^2 = 1\]
2) Intuição
\[\lim_{x \to 1^+} x^3 + 2 = 3\]
3) Intuição
\[\lim_{x \to 1^+} 4x^5 - 7x^2 + 1 = -2\]
4) Intuição
\[\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 1}{x^3 + 2} = \frac{2}{3}\]
5’) Intuição
\[\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2}{x} = 1\]
5) Fatoração
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(x - 1)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cancel{x}(x - 1)}{\cancel{x}} = \lim_{x \to 0} x - 1 = -1 \]
6’) Intuição
\[\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x+1} = 0\]
6) Fatoração
\[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x-1} =\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1^2}{x-1} \]
Aqui podemos fatorar: \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
\[ = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\cancel{(x-1)}(x+1)}{\cancel{x-1}} = \lim_{x \to 1} x + 1 = 2 \]
7’) Intuição
\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2}}{x + 2} = 0 \]
7’’) Intuição
\[ \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{\cancel{x-2}}{\cancel{x-2}} = \lim_{x \to 2} \space 1 = 1 \]
7) Racionalização, fatoração, intuição
Primeiro, precisamos utilizar a técnica de racionalização:
\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2}}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) . \color{blue}{(\sqrt{x} + \sqrt{2})}}{(x - 2) . \color{blue}{(\sqrt{x} + \sqrt{2})}} \]
Agora, podemos fatorar:
\[ = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2}{(x - 2) . (\sqrt{x} + \sqrt{2})} \]
\[ = \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{(x - 2) . (\sqrt{x} + \sqrt{2})} = \lim_{x \to 2} \frac{\cancel{x - 2}}{\cancel{(x - 2)} . (\sqrt{x} + \sqrt{2})} \]
Agora, podemos utilizar a intuição: \[ = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \]
8) Continuidade
O professor disse que é importante conhecer bem os gráficos das funções seno e cosseno, pois eles são muito importantes para o cálculo de limites.
Esses gráficos foram feitos na aula que abordou Funções trigonométricas.
Com o gráfico, sabemos que este limite é 0.
\[ \lim_{x \to 0} \space \sin x = 0 \]
9) Limites laterais
\[ \lim_{x \to 0} \space \frac{|x|}{x} \]
\[ \lim_{x \to 0^+} \space \frac{+x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \space 1 = 1 \] \[ \lim_{x \to 0^-} \space \frac{-x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \space -1 = -1 \]
Os limites laterais existem, e são diferentes, então o limite não existe.
\[ \nexists \lim_{x \to 0} \space \frac{|x|}{x} \]
Exemplos: simplificação algébrica
Exemplo 1:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{9x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{9\cancel{x}}{\cancel{x}} = \lim_{x \to 0} 9 = 9 \]
Exemplo 2:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\cancel{x}}{\cancel{x} . x . x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cancelto{pequeno}{x^2}} = +\infty \]
Aula 6 - P14) Calcule, caso existam, os limites abaixo:
1) Intuição
\[ \lim_{x \to 1} \frac{3x + 1}{4x + 2} = \lim_{x \to 1} \frac{\cancelto{4}{3x + 1}}{\cancelto{6}{4x + 2}} = \frac{2}{3} \]
2) Limites laterais
A intuição não basta:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cancelto{0}{\sin x}} \] Vamos tentar explorar os limites laterais:
\[ \lim_{x \to 0+} \frac{1}{\sin x} = \lim_{x \to 0+} \frac{1}{\cancelto{0^+}{\sin x}} = +\infty \]
\[ \lim_{x \to 0-} \frac{1}{\sin x} = \lim_{x \to 0-} \frac{1}{\cancelto{0^-}{\sin x}} = -\infty \] Os limites laterais são diferentes, então o limite não existe.
\[ \nexists \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin x} \]
3) Fatoração
\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 -5x +6}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-3)}{x-2} \] \[ = \lim_{x \to 2} \frac{\cancel{(x-2)}(x-3)}{\cancel{x-2}} = \lim_{x \to 2} x-3 = -1 \]
4’) Racionalização, fatoração
\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2}}{x-2} \] Racionalização:
\[ = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2}}{x-2} . \color{blue}{\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}} \]
Fatoração: \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
\[ = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2}{x-2} . \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} \]
\[ = \lim_{x \to 2} \frac{\cancel{x - 2}}{\cancel{x-2}} . \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} \]
Agora podemos usar a intuição:
\[ = \lim_{x \to 2} \frac{\cancelto{1}{1}}{\cancelto{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \]
4) [Difícil] Racionalização, fatoração
\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{2}}{x-2} \]
Podemos reescrever como: \[ = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \cdot \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{2}}{1} \] Lembrando que: \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)
Então: \(\color{green}{a-b} = \color{blue}{\dfrac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}}\)
Neste caso, vamos considerar que \(a = \sqrt[3]{x}\) e \(b = \sqrt[3]{2}\), então: \[a-b = \color{green}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{2}}\]
Vamos substituir o \(a-b\) (ou seja, \(\color{green}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{2}}\)) pelo \(\color{blue}{\dfrac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}}\):
\[ = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \cdot \color{blue}{\frac{(\sqrt[3]{x})^3 - (\sqrt[3]{2})^3}{(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2}} \] \[ = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\cancel{x-2}} \cdot \frac{\cancel{x - 2}}{(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2} \] \[ = \lim_{x \to 2} \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2} \]
\[ = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\cancelto{(\sqrt[3]{2})^2}{(\sqrt[3]{x})^2} + \cancelto{(\sqrt[3]{2})^2}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{2}} + \cancelto{(\sqrt[3]{2})^2}{(\sqrt[3]{2})^2}} \] \[ = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\cancelto{3(\sqrt[3]{2})^2}{(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2}} = \frac{1}{3(\sqrt[3]{2})^2} \]
5) Primeiro limite fundamental do cálculo
\[ \lim_{x \to 0} x^3 . \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} x^3 . \color{blue}{\frac{\sin x}{x}} \]
Neste caso, vamos utilizar o primeiro limite fundamental do cálculo:
\[ \lim_{x \to 0} x^3 . 1 =\lim_{x \to 0} \cancelto{0}{x^3} . 1 = 0 \]
6) Mudança de variável, primeiro limite fundamental do cálculo
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{x} \]
Vamos tentar chegar até o primeiro limite fundamental do cálculo.
Vamos multiplicar em cima e em baixo por 7:
\[ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{x} \cdot \color{blue}{\frac{7}{7} } \] \[ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x . 7}{7x} \] Vamos utilizar a técnica de mudança de variável. Seja \(u = 7x\), então: quando \(x \to 0\), \(u = 7x \to 0\).
\[ = \lim_{u \to 0} \frac{7 \cdot \sin u}{u} \]
Agora podemos utilizar o limite fundamental do cálculo:
\[ = \lim_{u \to 0} 7 \cdot \cancelto{1}{\color{blue}{\frac{\sin u}{u}}} = 7 \]
7) Mudança de variável, primeiro limite fundamental do cálculo
\[ \lim_{x \to 5} \frac{\sin (x - 5)}{x - 5} \]
Vamos tentar chegar até o primeiro limite fundamental do cálculo.
Para isso, vamos fazer uma mudança de variável: \(u = x - 5\), então \(u = x - 5\) ou \(x = u + 5\).
IMPORTANTE: Se \(x \to 5\), então \(u = x - 5 \to 0\).
Substituindo \(x\) por \(u + 5\), temos:
\[ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} \]
Agora, podemos utilizar o primeiro limite fundamental do cálculo:
\[ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 \]
8) Primeiro limite fundamental do cálculo
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \]
Vamos tentar chegar até o primeiro limite fundamental do cálculo.
Sabemos que \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), então:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cancelto{1}{\cos x}}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]
9’) Intuição
\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sin (x^2 - 4x + 4)}{x + 2} \]
\[ \lim_{x \to 2} \frac{{\sin (\cancelto{4}{x^2} - \cancelto{-8}{4x} + \cancelto{4}{4})}}{\cancelto{4}{x + 2}} \] \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sin (\cancelto{0}{x^2 - 4x + 4)}}{\cancelto{4}{x + 2}} \]
Sabemos que \(\sin 0 = 0\), então:
\[ \lim_{x \to 2} \frac{\cancelto{0}{\sin (x^2 - 4x + 4)}}{\cancelto{4}{x + 2}} = 0 \]
9) [Difícil] Fatoração, mudança de variável, limite fundamental do cálculo
\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sin (x^2 - 4x + 4)}{x - 2} \]
Como temos o seno, precisamos tentar chegar até o primeiro limite fundamental do cálculo.
De início, tentei fatorar o \(x^2 - 4x + 4\), mas não adiantou para chegar no primeiro limite fundamental do cálculo.
Como o professor resolveu? Primeiro, ele multiplicou em cima e em baixo por \(x^2 - 4x + 4\):
\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sin (x^2 - 4x + 4)}{x - 2} \cdot \color{blue}{ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4x + 4}} \] Podemos reorganizar da seguinte forma:
\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sin (x^2 - 4x + 4)}{x^2 - 4x + 4} \cdot {\frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}} \]
Neste ponto, o professor separou em duas partes!
Parte 1: Mudança de variável, primeiro limite fundamental do cálculo
Primeiro, ele resolveu o limite:
\[\lim_{x \to 2} \frac{\sin (x^2 - 4x + 4)}{x^2 - 4x + 4}\]
Aqui podemos chegar no limite fundamental do cálculo fazendo uma mudança de variável:
\[\theta = x ^2 - 4x + 4\]
Então, como \(x\) tende a 2, \(\theta\) tende a 0: \(\theta = 2 ^2 - 4\cdot2 + 4 \to 0\).
Podemos reescrever:
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1\]
Parte 2: Fatoração
Agora, vamos resolver a segunda parte:
\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2} \]
Podemos fatorar:
\[ = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)\cdot(x-2)}{x - 2} \]
\[ = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)\cdot\cancel{(x-2)}}{\cancel{x - 2}} \] \[ = \lim_{x \to 2} x - 2 = 0 \]
Parte 3
Agora, vamos multiplicar os resultados das duas partes:
\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sin (x^2 - 4x + 4)}{x - 2} = 1 \cdot 0 = 0 \]
10) [Difícil] Primeiro limite fundamental do cálculo
\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{1 - \cos x}{x^2} \]
Temos o cosseno, mas podemos tentar chegar no primeiro limite fundamental do cálculo.
Identidade trigonométrica fundamental (Pythagorean trigonometric identity): \[sen^2 x + cos^2 x = 1\]
Então:
\[sen^2 x = 1 - cos^2 x\]
Lembrando que \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\), e isso pode nos ajudar a chegar onde precisamos.
Vamos multiplicar em cima e em baixo por \(1 + \cos x\):
\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \color{blue}{\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}} \]
\[ = \lim_{x \to 0^-} \frac{1^2 - \cos^2 x}{x^2 \cdot (1 + \cos x)} \]
Lembrando que: \[sen^2 x = 1 - cos^2 x\]:
\[ = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin^2 x}{x^2 \cdot (1 + \cos x)} \]
Para chegar no limite fundamental, podemos reescrever como:
\[ = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \]
\[ = \lim_{x \to 0^-} (\frac{\sin x}{x})^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \]
Agora sim encontramos o limite fundamental:
\[ = \lim_{x \to 0^-} (\cancelto{1}{\frac{\sin x}{x}})^2 \cdot \frac{1}{1 + \cancelto{1}{\cos x}} \]
\[ = \lim_{x \to 0^-} \cancelto{1}{(\frac{\sin x}{x})^2} \cdot \frac{1}{\cancelto{2}{1 + \cos x}} = \frac{1}{2} \]
11) [Difícil] Primeiro limite fundamental do cálculo
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x}{x^2} \]
A resposta é igual ao exercício anterior. Neste caso, os limites laterais são iguais.
12) Mudança de variável
\[ \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} \] Neste caso, a intuição não basta (cai em indeterminação).
Vamos tentar fazer uma mudança de variável: \(u = x - 2\).
Se \(x \to 2^+\), então \(u = x - 2 \to 0^+\).
Substituindo, temos:
\[ \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u} \]
Neste caso, dividir 1 por um número muito pequeno e positivo é um número muito grande e positivo (\(+ \infty\)).
\[ \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u} = +\infty \]
13) Mudança de variável
\[ \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} \]
Similar ao exercício anterior.
Neste caso, a intuição não basta (cai em indeterminação).
Vamos tentar fazer uma mudança de variável: \(u = x - 2\).
Se \(x \to 2^-\), então \(u = x - 2 \to 0^-\).
Substituindo, temos:
\[ \lim_{u \to 0^-} \frac{1}{u} \]
Neste caso, dividir 1 por um número muito pequeno e negativo é um número muito grande e negativo (\(- \infty\)).
\[ \lim_{u \to 0^-} \frac{1}{u} = -\infty \]
12-13b) Mudança de variável
Esse não estava na lista.
\[ \lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \]
Nos exercícios anteriores, vimos que os limites laterais existem e são diferentes. Portanto:
\[ \nexists \lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \]
14) Intuição
\[ \lim_{x \to +\infty} x^6 + 7x + 2025 = \lim_{x \to +\infty} \cancelto{+\infty}{x^6} + \cancelto{+\infty}{7x} + 2025 = +\infty \]
Exemplo 1)
\[ \lim_{x \to +\infty} x-x = \lim_{x \to +\infty} \cancelto{+\infty}{x} - \cancelto{-\infty}{x} \] Neste caso, vamos fazer uma simplificação algébrica:
\[ = \lim_{x \to +\infty} x - x = \lim_{x \to +\infty} \cancel{x} - \cancel{x} = \lim_{x \to +\infty} 0 = 0 \]
Exemplo 2)
\[ \lim_{x \to +\infty} 35x - x = \lim_{x \to +\infty} 34x = \lim_{x \to +\infty} \cancelto{+\infty}{34x} = +\infty \]
Exemplo 3)
\[ \lim_{x \to +\infty} (x + 34) - x = \lim_{x \to +\infty} x + 34 - x = \lim_{x \to +\infty} \cancel{x} + 34 - \cancel{x} = \lim_{x \to +\infty} 34 = 34 \]
15) Polinômios
\[ \lim_{x \to +\infty} x^6 - 7x + 2025 \]
Neste caso a intuição não basta:
\[ \lim_{x \to +\infty} \cancelto{+\infty}{x^6} \cancelto{-\infty}{-7x} + 2025 \]
Vamos usar as técnicas de polinômios: deixar em evidência a potência de maior grau. Isso pode ser usado quando houver um limite de polinômio com x tendendo à \(+\infty\) ou \(-\infty\).
\[ \lim_{x \to +\infty} x^6 .(1 - \frac{7x}{x^6} + \frac{2025}{x^6}) \]
\[ \lim_{x \to +\infty} x^6 .(1 - \frac{7}{x^5} + \frac{2025}{x^6}) \] Intuição: \[ \lim_{x \to +\infty} x^6 .(\cancelto{1}{1} - \cancelto{0}{\frac{7}{x^5}} + \cancelto{0}{\frac{2025}{x^6}}) \] \[ \lim_{x \to +\infty} x^6 = \lim_{x \to +\infty} \cancelto{+\infty}{x^6} = +\infty \]
15b) Polinômios
\[ \lim_{x \to -\infty} x^5 - x^4 + 2 = \lim_{x \to -\infty} \cancelto{-\infty}{x^5} - \cancelto{+\infty}{x^4} + \cancelto{2}{2} \] A intuição basta!
Vamos utilizar a técnica de polinômios: deixar em evidência a potência de maior grau.
\[ \lim_{x \to -\infty} x^5 - x^4 + 2 = \lim_{x \to -\infty} x^5 . (1 - \frac{x^4}{x^5} + \frac{2}{x^5}) = \lim_{x \to -\infty} x^5 . (1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^5}) \]
Agora vamos usar a intuição:
\[ \lim_{x \to -\infty} x^5 . \cancelto{1}{(\cancelto{1}{1} - \cancelto{0}{\frac{1}{x}} + \cancelto{0}{\frac{2}{x^5}})} \]
\[ \lim_{x \to -\infty} x^5 = \lim_{x \to -\infty} \cancelto{-\infty}{x^5} = -\infty \]
16) Polinômios
\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3 + 7x + 1}{4x^4 + 1} \]
Vamos usar a técnica de polinômios: Simplificar o que dá - a maior potência em comum em cima e em baixo.
\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3.(3 + \frac{7x}{x^3} + \frac{1}{x^3})}{x^3. (4x + \frac{1}{x^3})} \]
\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cancel{x^3}.(3 + \frac{7x}{x^3} + \frac{1}{x^3})}{\cancel{x^3}. (4x + \frac{1}{x^3})} \] \[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3 + \frac{7\cancel{x}}{x.x.\cancel{x}} + \frac{1}{x^3}}{4x + \frac{1}{x^3}} \]
\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cancelto{\space \space 3}{\cancelto{3}{3} + \cancelto{0}{\frac{7}{x^2}} + \cancelto{0}{\frac{1}{x^3}}}}{\cancelto{\space +\infty}{\cancelto{+\infty}{4x} + \cancelto{0}{\frac{1}{x^3}}}} = 0 \] O limite é zero, pois se dividir um número finito (neste caso, o 3) por um número muito grande (\(+\infty\)), o resultado é zero.
17) Polinômios
\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^3 + 7}{4x^3 + 2x^2 + 1} \]
Vamos usar a técnica de polinômios: Simplificar o que dá - a maior potência em comum em cima e em baixo.
\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3.(2 + \frac{7}{x^3})}{x^3. (4 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3})} \]
\[ = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cancel{x^3}.(2 + \frac{7}{x^3})}{\cancel{x^3}. (4 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3})} \]
\[ = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2 + \dfrac{7}{x^3}}{4 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^3}} \]
\[ = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2 + \cancelto{0}{\dfrac{7}{x^3}}}{4 + \cancelto{0}{\dfrac{2}{x}} + \cancelto{0}{\dfrac{1}{x^3}}} \\ = \frac{2}{4} \]
18) Polinômios
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x + 1}{3x^3 + 7} \]
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x.(2 + \frac{1}{x})}{x.(3x^2 + \frac{7}{x})} \]
\[ = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\cancel{x}.(2 + \frac{1}{x})}{\cancel{x}.(3x^2 + \frac{7}{x})} \]
\[ = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{2 + \frac{1}{x}}{3x^2 + \frac{7}{x}} \]
\[ = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\cancelto{\space 2}{2 + \cancelto{0}{\frac{1}{x}}}} {\cancelto{+\infty}{\cancelto{+\infty}{3x^2} + \cancelto{0}{\frac{7}{x}}}} = 0 \]