6 Primeiro limite fundamental
Anotações das aulas
Para essa parte, o vídeo do Possani pode ajudar:
P10 - Ache a área do setor circular de raio r e ângulo central \(\theta\)
A área total de um círculo é dada por:
\[A = \pi r^2\] Sendo \(r\) o raio do círculo.
O ângulo total do círculo é \(2\pi\) radianos.
O setor circular é uma “fatia” deste círculo, cuja fração corresponde à razão entre o ângulo central \(\theta\) e o ângulo total \(2\pi\).
A área \(A\) do setor circular pode ser obtida por:
\[A = \frac{\theta}{2\pi} \pi r^2\]
Podemos simplificar a expressão acima, pois \(\pi\) é um fator comum:
\[ \require{cancel} A = \frac{\theta}{2 \cancel{\pi} } \cancel{\pi} r^2 = \frac{\theta}{2} r^2 \]
Podemos reescrever a expressão acima como:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \theta \]
P11) Seja \(0<x< \frac{\pi}{2}\), mostre que:
Ou seja: 0 < x < 90°, então está no primeiro quadrante.
a) \(\sin x < x < \tan x\)
Parte 1: \(x < \tan x\)
A área de um triângulo é dada por: \(A = \frac{1}{2} b \cdot h\).
O lado \(b\) do triângulo é \(1\) e a altura \(h\) é \(\tan x\). Então a área do triângulo é: \(A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x = \frac{1}{2} \tan x\).
A área do setor circular é dada por: \(A = \frac{1}{2} r^2 x\) (visto no exercício anterior). Neste caso, o raio do círculo é 1, então \(r = 1\). Portanto, a área do setor circular é \(\frac{1}{2} x\).
O setor circular está “dentro” do triângulo retângulo.
Portanto, a área do setor circular é menor que a área do triângulo retângulo.
\[ \frac{1}{2}. x < \frac{1}{2} . \tan x \]
Simplificando:
\[ \frac{1}{\cancel{2}} .x < \frac{1}{\cancel{2}} . \tan x \] Temos que:
\[ x < \tan x \]
Parte 2: \(\sin x < x\)
A área do triângulo é dada por: \(A = \frac{1}{2} b \cdot h\).
O triângulo contido dentro do setor circular tem área \(A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x\)
O triângulo contido dentro do setor circular é menor que o setor circular.
Portanto, a área do triângulo é menor que a área do setor circular.
\[ \frac{1}{2} \sin x < \frac{1}{2} x \] Podemos simplificar a expressão acima:
\[ \frac{1}{\cancel{2}} \sin x < \frac{1}{\cancel{2}} x \] Temos que:
\[ \sin x < x \]
\(\sin x < x < \tan x\)
Podemos visualizar no gráfico abaixo:
b) \(\sin x < 1\) e \(cos x < \frac{\sin x}{x}\)
Parte 1: \(\sin x < 1\)
Considerando que o ângulo do setor circular é \(0 < x < \frac{\pi}{2}\) (isso está no enunciado), e o raio do círculo é 1, então o \(\sin x\) é a altura do triângulo retângulo formado pelo setor circular.
Se x fosse \(x = \frac{\pi}{2}\), então seria \(\sin x = 1\).
Como \(0 < x < \frac{\pi}{2}\), então \(\sin x < 1\).
Parte 2 - \(\cos x < \frac{\sin x}{x}\)
Vimos no exercício anterior que \(x < \tan x\).
Como \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), então:
\[x < \frac{\sin x}{\cos x}\]
\[\cos x < \frac{\sin x}{x}\]
c) TO DO: \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1\)
Complementar: teorema sanduíche
d) TO DO: \(\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1\)
e) TO DO: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
P12) Desenhe o gráfico de \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\).
É uma função par:
\[ f(-x) = \frac{\sin -x}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x} = f(x) \]
Vamos separar a função \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\) em duas partes:
\[ f(x) = \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{x} . \sin x \] Vamos desenhar o gráfico de \(f(x) = \frac{1}{x}\) e de \(g(x) = \sin x\).
Ao multiplicar as duas funções, obtemos o gráfico de \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\).
Com o gráfico, conseguimos ver que:
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \] Mas vamos explorar isso de forma algébrica:
\(\sin x\) é uma função limitada, pois \(-1 \leq sen \space x \leq 1\).
\(\frac{1}{x}\) é uma função que tende a zero quando \(x\) tende ao infinito.
Portanto, o produto de uma função limitada por uma função que tende a zero é uma função que tende a zero.
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x}.\sin x = 0 \]