14 Reta tangente
Lembremos
- \(m = \tan \theta = f'(x_0)\)
\[ (x, y) \in r \Leftrightarrow m = \frac{y - y_0}{x - x_0} \] \[ m(x - x_0) = y - y_0 \] \[ y = m(x - x_0) + y_0 \]
Duas retas (\(r\) e \(s\)) são paralelas se e somente se \(m_r = m_s\) (o coeficiente angular das retas é igual).
\[ r // s \Leftrightarrow m_r = m_s \]
P.46
Mostre que não existe nenhuma reta tangente ao gráfico de …
\[ f(x) = \sin^{2025} x + 8x^{2025} + e^{x^3 + 1} + 2005 \]
…com \(0 < x < \frac{\pi}{2}\) que seja paralela à reta \(y = -x + 77\).
- Etapa 1: encontrar o coeficiente angular (\(m\)) da reta \(y = -x + 77\).
\(m = -1\)
Segundo o enunciado:
\[ \nexists \space x_0 \text{ tal que } f'(x) = -1 \]
- Etapa 2: derivar a função \(f(x)\).
\[ f(x) = \sin^{2025} x + 8x^{2025} + e^{x^3 + 1} + 2005 \]
Vamos separar a função \(f(x)\) em funções menores, para facilitar para derivar.
\[ g(x) = \sin^{2025} x \rightarrow g'(x) = 2025 \cdot (\sin^{2024} x) \cdot \cos x \]
\[ h(x) = 8x^{2025} \rightarrow h'(x) = 8 \cdot 2025 \cdot x^{2024} \]
\[ j(x) = e^{x^3 + 1} \rightarrow j'(x) = 3x^2 \cdot e^{x^3 + 1} \]
Com \(0 < x < \frac{\pi}{2}\), todo \(f'(x)\) sempre será positivo.
Logo: \(f'(x_0) \geq 0, \forall x_0 \in D_f\).
Portanto:
\[ \nexists \space x_0 \text{ para } f'(x_0) = -1 \]
P.47
Mostre que existe uma única reta tangente ao gráfico de \(f(x) = \ln(1 + x^2)\) que seja paralela à reta \(-3x + 3y = 2026\).
- Etapa 1: encontrar o coeficiente angular (\(m_r\)) da reta \(r\): \(-3x + 3y = 2026\).
\[ -3x + 3y = 2026 \rightarrow 3y = 3x + 2026 \rightarrow \]
\[ y = \frac{3x}{3} + \frac{2026}{3} = x + \frac{2026}{3} \]
Portanto, o coeficiente angular da reta \(r\) é \(m_r = 1\).
- Etapa 2: derivar a função \(f(x)\).
A função “de dentro” é \(g(x) = 1 + x^2\) e a função “de fora” é \(h(x) = \ln x\).
\[ f(x) = \ln(1 + x^2) \]
\[ f'(x) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{2x}{1 + x^2} \]
- Etapa 3: igualar a derivada da função \(f(x)\) ao coeficiente angular da reta \(r\).
\[ f'(x) = m_r \Leftrightarrow \frac{2x_0}{1 + x_0^2} = 1 \]
\[ 2x_0 = 1 + x_0^2 \]
\[ 1 + x_0^2 - 2x_0 = 0 \] Podemos fatorar:
\[ (x_0 - 1)^2 = 0 \]
\[ \sqrt{(x_0 - 1)^2} = \sqrt{0} \]
\[ x_0 - 1 = 0 \rightarrow x_0 = 1 \]
Com isso, temos que \(x_0 = 1\).
P.48
Mostre que existem apenas duas retas tangentes ao gráfico de ..
\[ f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}\cdot x^2 + 8x + 99 \]
.. que são paralelas à reta \(r\): \(y = 2x + 5\).
- Etapa 1: encontrar o coeficiente angular (\(m_r\)) da reta \(r\):
\[m = 2\]
- Etapa 2: Estamos procurando todos os pontos \(x_0\) tais que a derivada no ponto \(x_0\) seja igual ao coeficiente angular da reta \(r\). Portanto, precisamos derivar a função \(f(x)\).
\[ f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}\cdot x^2 + 8x + 99 \]
\[ f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - \frac{5}{2} \cdot 2x^{2-1} + 8 \]
\[ f'(x) = x^{2} - 5x + 8 \]
- Etapa 3: igualar a derivada da função \(f(x)\) ao coeficiente angular da reta \(r\).
\[ f'(x) = m_r \Leftrightarrow x^2 - 5x + 8 = 2 \]
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]
Resolver as raízes:
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0 \]
Portanto as raízes são \(x_1 = 2\) e \(x_2 = 3\).
P.49
Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(x) = \frac{x^2}{2} + 7\) que é paralela à reta \(r\): \(3x + 6y + 201 = 0\)
- Etapa 1: encontrar o coeficiente angular (\(m_r\)) da reta \(r\): \(3x + 6y + 201 = 0\).
\[ 3x + 6y + 201 = 0 \rightarrow 6y = -3x - 201 \] \[ y = -\frac{3}{6}x - \frac{201}{6} \]
\[ y = -\frac{1}{2}x - \frac{201}{6} \]
Logo \(m_r = -\frac{1}{2}\).
- Etapa 2: Estamos procurando \(x_0\) tal que \(f'(x_0) = m_r = \frac{-1}{2}\). Portanto, precisamos derivar a função \(f(x)\).
\[ f(x) = \frac{x^2}{2} + 7 = \frac{1}{2} \cdot x^2 + 7 \]
\[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} + 0 = x \]
Logo \(f'(x_0) = x_0 = \frac{-1}{2}\).
- Etapa 3: precisamos escrever a equação da reta tangente. Lembremos de \(y = m(x - x_0) + y_0\).
Considerando que:
\(m_r = -\frac{1}{2}\)
\(x_0 = -\frac{1}{2}\)
\[ y = y_0 + m(x - x_0) \]
\[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \]
\[ y = (\frac{(-\frac{1}{2})^2}{2} + 7) + (-\frac{1}{2}) \cdot (x - (-\frac{1}{2})) \]
\[ y = (\frac{\frac{1}{4}}{2} + 7) - \frac{1}{2} \cdot (x + \frac{1}{2}) \]
\[ y = (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + 7) - \frac{1}{2} \cdot (x + \frac{1}{2}) \]
\[ y = (\frac{1}{8} + 7) - \frac{1}{2} \cdot (x + \frac{1}{2}) \]