3 Funções
Anotações das aulas: 2 à 3
Aula 2 - P8) Desenhar os gráficos das funções abaixo:
1) \(f(x) = 1\)
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space 1 = 1\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space 1 = 1\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space 1 = 1\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space 1 = 1\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space 1 = 1\) |
2) \(f(x) = x\)
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space x = + \infty\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space x = - \infty\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space x = 0\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space x = 0\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space x = 0\) |
3) \(f(x) = x + 1\)
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space x + 1 = + \infty\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space x + 1 = - \infty\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space x + 1 = 1\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space x + 1 = 1\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space x + 1 = 1\) |
4) \(f(x) = x - 1\)
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space x - 1 = + \infty\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space x - 1 = - \infty\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space x - 1 = -1\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space x - 1 = -1\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space x - 1 = -1\) |
5) [REVISAR] Sistema
\[ f(x) = \left\{ \begin{align} x+1, \text{ se } x \leq 2 \\ x-1, \text{ se } x > 2 \end{align}\right. \]
Precisamos tomar cuidado com o ponto \(x = 2\), pois a função é definida de forma diferente para \(x \leq 2\) e \(x > 2\).
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space f(x) = + \infty\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space f(x) = - \infty\) |
| \(x \to 2^+\) | \(\lim_{x \to 2^+ } \space f(x) = 3\) |
| \(x \to 2^-\) | \(\lim_{x \to 2^- } \space f(x) = 1\) |
| \(x \to 2\) | \(\nexists \space \lim_{x \to 2 } \space f(x)\) |
6) \(f(x) = x^2\)
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space x^2 = + \infty\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space x^2 = + \infty\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space x^2 = 0\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space x^2 = 0\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space x^2 = 0\) |
7) \(f(x) = x^3\)
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space x^3 = + \infty\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space x^3 = - \infty\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space x^3 = 0\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space x^3 = 0\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space x^3 = 0\) |
8) \(f(x) = x^4\)
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space x^4 = + \infty\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space x^4 = + \infty\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space x^4 = 0\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space x^4 = 0\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space x^4 = 0\) |
9) \(f(x) = \sqrt{x}, x \geq 0\)
Atenção: a função é definida apenas para \(x \geq 0\), pois a raiz quadrada de número negativo não é um número real (\(\mathbb{R}\)).
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space \sqrt{x} = + \infty\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space \sqrt{x} = 0\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space \sqrt{x} = 0\) |
Lembrete
Para mim, o limite \(\lim_{x \to 0 } \space \sqrt{x}\) foi um pouco confuso inicialmente, pois:
1 - O limite lateral esquerdo não existe, pois a função está definida em \(x \geq 0\).
2 - Eu havia entendido que, para o limite \(\lim_{x \to 0 } \space \sqrt{x}\) existir, os limites laterais devem existir e serem iguais.
Porém, pesquisando na internet, descobri que essa definição 2 é simplificada. O limite deve considerar apenas o domínio da função, que é \(x \geq 0\), então neste caso o limite \(\lim_{x \to 0 } \space \sqrt{x}\) existe e é igual a 0.
10) \(f(x) = |x|\)
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space |x| = + \infty\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space |x| = + \infty\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space |x| = 0\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space |x| = 0\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space |x| = 0\) |
11) \(f(x) = \frac{1}{x}\)
Atenção: a função é indefinida para \(x = 0\), pois não podemos fazer divisão por zero.
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space \frac{1}{x} = 0\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space \frac{1}{x} = 0\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space \frac{1}{x} = + \infty\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space \frac{1}{x} = - \infty\) |
| \(x \to 0\) | \(\nexists \space \lim_{x \to 0 } \space \frac{1}{x}\) |
O limite \(x \to 0\) não existe pois o limite lateral à direita é diferente do limite lateral à esquerda.
12) \(f(x) = \frac{1}{x^2}\)
Atenção: a função é indefinida para \(x = 0\), pois não podemos fazer divisão por zero.
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space \frac{1}{x^2} = 0\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space \frac{1}{x^2} = 0\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space \frac{1}{x^2} = + \infty\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space \frac{1}{x^2} = + \infty\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space \frac{1}{x^2} = + \infty\) |
13) Sistema - Números Racionais
\[ f(x) = \left\{ \begin{align} 1, \text{ se } x \in \mathbb{Q} \\ -1, \text{ se } x \notin \mathbb{Q} \end{align}\right. \]
Lembrete
Os números racionais são os números que podem ser escritos como fração, ou seja, são números que podem ser representados por um número inteiro dividido por outro número inteiro.
Existem infinitos números racionais, e infinitos números irracionais.
Porém os irracionais são mais “densos”: existem mais números irracionais do que racionais.
Por isso escolhi representar o gráfico dessa forma, com \(y = 1\) apresentando menos pontos, pois os números racionais são “menos densos” que os irracionais.
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\nexists \space \lim_{x \to + \infty } \space f(x)\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\nexists \space \lim_{x \to - \infty } \space f(x)\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\nexists \space \lim_{x \to 0^+ } \space f(x)\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\nexists \space \lim_{x \to 0^- } \space f(x)\) |
| \(x \to 0\) | \(\nexists \space \lim_{x \to 0 } \space f(x)\) |
14) Sistema - Números Racionais
\[ f(x) = \left\{ \begin{align} x, \text{ se } x \in \mathbb{Q} \\ -x, \text{ se } x \notin \mathbb{Q} \end{align}\right. \]
Ler comentário da função anterior.
Vamos dar um zoom:
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\nexists \space \lim_{x \to + \infty } \space f(x)\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\nexists \space \lim_{x \to - \infty } \space f(x)\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space f(x) = 0\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space f(x) = 0\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space f(x) = 0\) |
Aula 3 - P9) Desenhar os gráficos das funções abaixo:
Alguns exercícios são repetidos da aula anterior, então não vou repetir o gráfico deles: 3, 4, 5, 6, 7, 8.
1) \(f(x) = 3x\)
Neste gráfico, é interessante também mostrar a reta \(f(x) = x\):
Percebemos que são similares, o que muda é a inclinação da reta.
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space 3x = + \infty\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space 3x = - \infty\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space 3x = 0\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space 3x = 0\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space 3x = 0\) |
2) \(f(x) = -3x\)
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space -3x = - \infty\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space -3x = + \infty\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space -3x = 0\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space -3x = 0\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space -3x = 0\) |
9) Função exponencial: \(f(x) = 2^x\)
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space 2^x = + \infty\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space 2^x = 0\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space 2^x = 1\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space 2^x = 1\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space 2^x = 1\) |
Lembrete: Qualquer número real elevado a zero é 1 (exceto o zero, que é indefinido). Exemplo:
\(-2^0 = 1\)
\(2^0 = 1\)
\(3^0 = 1\)
10) Função exponencial: \(f(x) = 2^{-x}\)
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space 2^{-x} = 0\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space 2^{-x} = + \infty\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space 2^{-x} = 1\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space 2^{-x} = 1\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space 2^{-x} = 1\) |
11) \(f(x) = x + \frac{1}{x^2}\)
Forma interessante que o professor fez: separou a função em duas partes, e fazer o gráfico de cada uma separadamente.
Ao somar as duas funções, temos o gráfico da função \(f(x) = x + \frac{1}{x^2}\).
| Tipo | Limite |
|---|---|
| \(x \to + \infty\) | \(\lim_{x \to + \infty } \space x + \frac{1}{x^2} = + \infty\) |
| \(x \to - \infty\) | \(\lim_{x \to - \infty } \space x + \frac{1}{x^2} = - \infty\) |
| \(x \to 0^+\) | \(\lim_{x \to 0^+ } \space x + \frac{1}{x^2} = + \infty\) |
| \(x \to 0^-\) | \(\lim_{x \to 0^- } \space x + \frac{1}{x^2} = + \infty\) |
| \(x \to 0\) | \(\lim_{x \to 0 } \space x + \frac{1}{x^2} = + \infty\) |