11  Derivadas - Parte 3

Anotações das aulas

TO DO - P42. Calcule \(H'(x)\), onde:

Esse exercício era enorme: \(H(X)\) era a soma de muitas funções! Dividi em partes para fazer cada uma delas. Caso tenha um exercício similar, precisamos fazer cada parte separadamente e depois somar as derivadas.

a) \(H(x) = 2025\) - Função constante

Função constante.

\[H'(x) = 0\]

b) \(H(x) = x\) - Regra da potência

\[H'(x) = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot \cancelto{1}{x^0} = 1\]

• Lembrete: todo número não nulo elevado a zero é igual a 1, ou seja: \(a^0 = 1, \forall a \neq 0\).

c) \(H(x) = 7x\) - Regra da potência

\[H'(x) = 7 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 7 \cdot \cancelto{1}{x^0} = 7\]

d) \(H(x) = x^3\) - Regra da potência

\[H'(x) = 3 \cdot x^{3-1} = 3 \cdot x^2\]

e) \(H(x) = x^{\frac{1}{3}}\) - Regra da potência

\[H'(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3}-1}\]

Segundo o professor, para ele isso é suficiente.

Caso queira simplificar:

\[ = \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} \]

Lembrando que:

• \(x^{-a} = \frac{1}{x^a}, x \neq 0\)

• \(x^{\frac{1}{a}} = \sqrt[a]{x}, x > 0\)

• \(x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^a}, x > 0\)

f) \(H(x) = x^{e}\) - Regra da potência

\[ H'(x) = e \cdot x^{e-1} \]

g) \(H(x) = x^{\pi}\) - Regra da potência

\[ H'(x) = \pi \cdot x^{\pi-1} \]

h) \(H(x) = x^{\frac{-7}{8}}\) - Regra da potência

\[ H'(x) = \frac{-7}{8} \cdot x^{\frac{-7}{8}-1} \]

Podemos simplificar: \[ = \frac{-7}{8} \cdot x^{-\frac{15}{8}} \]

i) \(H(x) = e^{x}\)

Esse é importante saber de cabeça.

\[ H'(x) = e^{x} \]

j) \(H(x) = 2^{x}\) - Função exponencial, regra da cadeia

Reescrever a função:

\[ H(x) = 2 ^x = e^{\ln 2^x} = e^{x \cdot \ln 2} \]

Utilizar a regra da cadeia para derivar:

\[ H'(x) = e^{x \cdot \ln 2} \cdot \ln 2 = 2^x \cdot \ln 2 \]

k) \(H(x) = e^{x^{2}}\) - Função exponencial, regra da cadeia

Considerar qual é a função “de dentro” e qual é a função “de fora”.

• Função “de dentro”: \(x^2\)

• Função “de fora”: \(e^x\)

\[ H'(x) = e^{x^2} \cdot 2x \]

l) \(H(x) = \ln x\) - Função inversa

\[ H'(x) = \frac{1}{x} \]

l’) \(h(x) = \ln f(x)\) - Regra da cadeia

\[h(x) = \ln f(x)\]

\[ h'(x) = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} \]

m) \(H(x) = \ln (3x^3 + 7x^2 + 1)\) - Regra da cadeia

Considerando \(g(x) = 3x^3 + 7x^2 + 1\) e \(f(x) = \ln x\):

\[ H'(x) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} \]

(Isso foi explorado no exercício anterior)

\[ H'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{3 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 7x^1 + 0}{3x^3 + 7x^2 + 1} = \frac{9x^2 + 14x}{3x^3 + 7x^2 + 1} \]

n) \(H(x) = \sin x\)

\[ H'(x) = \cos x \]

o) \(H(x) = \cos x\)

\[ H'(x) = -\sin x \]

p) \(H(x) = \sin 2x\) - Regra da cadeia

\[ H'(x) = \cos 2x \cdot 2 = 2 \cdot \cos 2x \]

q) \(H(x) = \cos 7x\)

\[ H'(x) = -\sin 7x \cdot 7 = -7 \cdot \sin 7x \]

r) \(H(x) = \tan x\)

\[ H'(x) = \sec^2 x \]

s) \(H(x) = \sec 7x\) - Regra da cadeia

\[ H'(x) = (\sec 7x \cdot \tan 7x) \cdot 7 \]

t) \(H(x) = \tan (\sin x)\) - Regra da cadeia

\[ H'(x) = \sec^2 (\sin x) \cdot \cos x \]

u) \(H(x) = \frac{2 x^2 + 1}{4x^3 + 2}\)- Regra do quociente

\[ H'(x) = \frac{(4x^3 + 2) \cdot (4x + 0) - (2x^2 + 1) \cdot (12x^2)}{(4x^3 + 2)^2} \]

TO DO - v) \(H(x) = (\sin x)^x\) - Função exponencial, regra da cadeia

Vamos reescrever a função:

\[ H(x) = (\sin x)^x = e^{\ln (\sin x)^x} = e^{x \cdot \ln (\sin x)} \]

Agora podemos derivar:

TO DO: CONTINUAR, ANOTAÇÕES 02/04.

TO DO - w) \(H(x) = \sin (\ln x)\) - Regra da cadeia

TO DO - x) \(H(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 1}\)

Reescrever a função:

\[ H(x) = (x^2 + 2x + 1)^{\frac{1}{2}} \]

y) \(H(x) = \sqrt[3]{x^2 + 1}\) - Regra da cadeia

Reescrever a função:

\[ H(x) = (x^2 + 1)^{\frac{1}{3}} \]

Vamos identificar a função “de dentro” e a função “de fora”: - Função “de dentro”: \(x^2 + 1\) - Função “de fora”: \(x^{\frac{1}{3}}\)

Aplicar a regra da cadeia:

\[ H'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^2 + 1)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (2x + 0) \]

TO DO - z) \(H(x) = x^x\)

TO DO - aa) \(H(x) = (2x^2 + 1)^{4x^2 + 1}\)

TO DO - ab) \(H(x) = 4x^2 \cdot e^x\)

ac) \(H(x) = e^{\ln x}\)

• Lembrete: \(e^{\ln x} = x\).

Podemos reescrever a função \(H(x)\) como: \(H(x) = x\).

\[ H'(x) = 1 \]

ad) \(H(x) = 7x^2\) - Regra da potência

\[ H'(x) = 2 \cdot 7x^{2-1} = 14x \]

TO DO - ae) \(H(x) = \ln (e^x + \sin x + 2)\) - Regra da cadeia

TO DO - Demonstração: derivada de \(e^x\)

Seja \(f(x) = e^x\).

Para \(x = 0\), pela definição de derivada:

\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} \]

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^0}{x} = \frac{e^x - 1}{x} \] - Lembrete: todo número não nulo elevado a zero é igual a 1, ou seja: \(a^0 = 1, \forall a \neq 0\).

(tá meio confusa essa anotação)

Observação 1:

Importante

\(f(x) = e^x \rightarrow f'(x) = e^x\)

\[ f'(p) = \lim_{x \to p} \frac{f(x) - f(p)}{x - p} \]

\[ = \lim_{x \to p} \frac{e^x - e^p}{x - p} \]

Deixar o \(e^p\) em evidência:

\[ = \lim_{x \to p} \frac{e^p (e^{x-p} - 1)}{x - p} \]

Fazer mudança de variável:

\[ = \lim_{\theta \to 0} e^p \cdot \frac{e^{\theta} - 1}{\theta} \]

Lembrando que:

\[ 1 = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} \]

Substituindo, temos que:

\[ = \lim_{\theta \to 0} e^p \cdot 1 = e^p \]

TO DO - Observação 2: derivada de \(\ln x\)

Importante

• \(\ln x\) é a função inversa de \(e^x\).

• \(a^x\) e \(\log_a x\) são funções inversas entre si.

• \(\log_e x = \ln x\) (\(\ln\): logaritmo na base \(e\) é chamado de logaritmo neperiano)

• \(e^x\) e \(\ln x\) são funções inversas entre si.

Continuar: anotações da aula de 02/04.

Observação 3: derivada de \(f(x) = a^x, a>0, a \neq e\)

Função exponencial. Exemplo: \(2^x\), \(3^x\), \(4^x\), \(5^x\), \(10^x\)…

Importante

• Toda potência \(a^x\) pode ser reescrita em termos de \(e\).

• A inversa da função logaritmo é a função exponencial (e vice-versa).

• \(\sqrt{x^2} = x\)

• \(a = e^{\ln a}\)

Como derivar \(f(x) = a ^x\)?

Podemos reescrever a função \(f(x)\) como: \[ f(x) = \color{red}{a^x} \color{black}{= e^{\ln \color{red}{a^x}}} \] O \(x\) que está no expoente pode ser trazido para frente, usando a propriedade dos logaritmos:

\[ f(x) = e^{x \cdot \ln a} \]

Temos uma função composta. Agora podemos usar a regra da cadeia.

\[ f'(x) = e^{x \cdot \ln a} \cdot (\ln a) = a^x \cdot \ln a \]

Importante

Lembrando da regra da cadeia:

\[ h(x) = f(g(x)) \Rightarrow h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

\[ h'(x) = \sin(f(x)) \Rightarrow h'(x) = \cos (f(x)) \cdot f'(x) \]

\[ h'(x) = \cos(f(x)) \Rightarrow h'(x) = -\sin (f(x)) \cdot f'(x) \]

\[ h'(x) = e^{f(x)} \Rightarrow h'(x) = e^{f(x)} \cdot f'(x) \]

Derivar \(f(x) = x ^{\alpha}\):

• Forma 1:

\[ f'(x) = \alpha \cdot x^{\alpha - 1} \]

• Forma 2:

Primeiro, vamos reescrever \(f(x)\): \[ f(x) = x ^{\alpha} = e^{\ln (x^{\alpha})} = e^{\alpha \cdot \ln x} \] Agora podemos derivar:

\[ f'(x) = e^{\alpha \cdot \ln x} \cdot \frac{\alpha}{x} \]

Lembrando que \(e^{\alpha \ln x} = x^{\alpha}\):

\[ = x^{\alpha} \cdot \frac{\alpha}{x} \]

Podemos simplificar:

\[ = x^{\alpha} \cdot x^{-1} \cdot \alpha = \alpha \cdot x^{\alpha - 1} \]