17  Continuidade e Derivabilidade

Lista 1

3. TO DO

Em que pontos a função abaixo é contínua?

\[ f(x) = \begin{cases} x^7 \sin\frac{1}{x}, & \text{se } x \neq 0, \\ 0, & \text{se } x = 0. \end{cases} \]

4. TO DO

Em que pontos a função abaixo é derivável?

\[ f(x) = \begin{cases} x^8 \cos\frac{1}{x}, & \text{se } x \neq 0, \\ 0, & \text{se } x = 0. \end{cases} \]

5. TO DO

Verifique se as funções abaixo são deriváveis em \(p = 0\).

1. \[ f(x) = \begin{cases} (x^2+x^4) \sin\frac{1}{x}, & \text{se } x \neq 0, \\ 0, & \text{se } x = 0. \end{cases} \]

2. \[ f(x) = \begin{cases} x^{2020} \sin\frac{1}{x}, & \text{se } x \neq 0, \\ 0, & \text{se } x = 0. \end{cases} \]

6. TO DO

Sejam \(a, b \in \mathbb{R}\). Definimos a função \(f\) por

\[ f(x) = \begin{cases} ax + 2, & \text{se } x \ge 1, \\ b(x-1)e^{x-1} + x^2, & \text{se } x < 1. \end{cases} \]

1. Calcule \(a\) para que a função \(f\) seja contínua em \(x = 1\).
   
2. Calcule \(b\) para que a função \(f\) seja derivável em \(x = 1\).

7. TO DO

Existe algum \(a \in \mathbb{R}\) tal que a função \(f\) abaixo seja contínua em \(x = 1\)?

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1 + a\sqrt{x-a}}{x-1}, & \text{se } x > 1, \\ a^2, & \text{se } x \le 1. \end{cases} \]