16 Derivadas
Lista 1
2. Calcule as derivadas das funções abaixo:
1. Regra da potência
\[ f(x) = 7x^7 + 6x^2 + 2x + 8 \]
\[ f'(x) = 7 \cdot 7x^6 + 2 \cdot 6x^1 + 2x^0 \] \[ f'(x) = 49x^6 + 12x + 2 \]
2. TO DO
Seja \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\).
\[ h(x) = \frac{8x^3 + x}{1+x^2} \]
3. Regra da cadeia
\[ f(x) = \sin(7x^2+4) \]
\[ f'(x) = \cos(7x^2+4) \cdot 14x \]
4. TO DO
\[ f(x) = x^x \]
5. TO DO
\[ f(x) = (x - x^3)^{\cos x} \]
6. TO DO
\[ f(x) = \frac{1}{x} + \tan x + e^{x^2} \]
7. Regra da cadeia
\[ f(x) = \sin(\cos x) \]
\[ f'(x) = \cos(\cos x) \cdot (-\sin x) \]
8. TO DO
\[ f(x) = x \cdot e^x \cdot \sin x \]
9. TO DO
\[ f(x) = (\tan x)^{\ln(x^3+1)} \]
10. TO DO
\[ f(x) = \tan 2x \]
11. TO DO
\[ f(x) = \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x} \]
12. TO DO
\[ f(x) = \ln(8x^3+2x+1) \]
13. Trabalhoso. Regra do quociente, regra da cadeia
\[ f(x) = \frac{e^{2x}+\ln 7x + \cos 8x}{x^2+7} \]
Professor resolveu em sala de aula.
\[ f(x) = \frac{g(x) + h(x) + j(x)}{k(x)} \]
Sendo:
\[ g(x) = e^{2x} \rightarrow g'(x) = 2e^{2x} \]
\[ h(x) = \ln 7x \rightarrow h'(x) = \frac{1}{7x} \cdot 7 = \frac{1}{x} \]
\[ j(x) = \cos 8x \rightarrow j'(x) = -8\sin 8x \]
A parte superior chamamos de \(u(x)\) e a parte inferior de \(v(x)\):
\[ u'(x) = g'(x) + h'(x) + j'(x) = 2e^{2x} + \frac{1}{x} - 8\sin 8x \]
Portanto
\[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} \]
\[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot (x^2 + 7) - u(x) \cdot 2x}{(x^2 + 7)^2} \]
\[ f'(x) = \frac{[2e^{2x} + \frac{1}{x} - 8\sin 8x] \cdot (x^2 + 7) - [e^{2x}+\ln 7x + \cos 8x] \cdot 2x}{(x^2 + 7)^2} \]
14. TO DO
\[ f(x) = \sqrt{x^2+x} \]
15. Regra do produto e regra do quociente
\[ f(x) = \frac{(x^2+1)(x^4+x)}{x^7+1} \] Professor resolveu em sala de aula.
- Separar em partes:
\[ g(x) = (x^2+1)(x^4+x) \]
Derivar usando a regra do produto: \[ g'(x) = (x^2+1) \cdot (4x^3 + 1) + (x^4+x) \cdot 2x \]
Derivar usando a regra da potência: \[ h(x) = x^7 + 1 \rightarrow h'(x) = 7x^6 \]
Vamos usar a regra do quociente:
\[ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \rightarrow f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2} \]
\[ f'(x) = \frac{[(x^2+1) \cdot (4x^3 + 1) + (x^4+x) \cdot 2x] \cdot (x^7 + 1) - [(x^2+1)(x^4+x)] \cdot 7x^6}{(x^7 + 1)^2} \]
16. TO DO
\[ f(x) = |x| \cdot {x} \]