13 Limites (continuação)
P43. Calcule, caso existam, os limites abaixo:
1. Uso de derivadas
\[ \lim_{x \to 7} \frac{\sin x - \sin 7}{x - 7} \]
A definição de derivada é:
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a) \]
Vamos identificar qual é a função \(f(x)\) e o ponto \(a\):
- \(f(x) = \sin x\)
- \(a = 7\)
Precisamos encontrar \(f'(a)\), ou seja, a derivada da função \(f(x)\) no ponto \(a\).
Calculamos a derivada da função \(f(x)\):
\[ f'(x) = \cos x \] Portanto, a derivada da função \(f(x)\) no ponto \(a = 7\) é:
\[ f'(7) = \cos 7 \]
Portanto, o limite é:
\[ \lim_{x \to 7} \frac{\sin x - \sin 7}{x - 7} = \cos 7 \]
2. Uso de derivadas
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin (\cos x) - \sin 1}{x} \]
A definição de derivada é:
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a) \]
Vamos identificar qual é a função \(f(x)\) e o ponto \(a\):
\(f(x) = \sin (\cos x)\)
\(a = 0\)
Precisamos encontrar \(f'(a)\), ou seja, a derivada da função \(f(x)\) no ponto \(a\).
Calculamos a derivada da função \(f(x)\): para isso, vamos aplicar a regra da cadeia.
\[ f'(x) = \cos (\cos x) \cdot (-\sin x) \] A a derivada da função \(f(x)\) no ponto \(a = 0\) é:
\[ f'(0) = \cos (\cos 0) \cdot (-\sin 0) = \cos (1) \cdot 0 = 0 \] Portanto, o limite é:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin (\cos x) - \sin 1}{x} = 0 \]
3. Uso de derivadas
\[ \lim_{x \to 1} \frac{\ln (3x^4 + 1) - \ln 4}{x-1} \] A definição de derivada é:
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a) \]
Vamos identificar qual é a função \(f(x)\) e o ponto \(a\):
\(f(x) = \ln (3x^4 + 1)\)
\(a = 1\)
Precisamos encontrar \(f'(a)\), ou seja, a derivada da função \(f(x)\) no ponto \(a\).
Calculamos a derivada da função \(f(x)\): para isso, vamos aplicar a regra da cadeia.
A função “de dentro” é \(g(x) = 3x^4 + 1\) e a função “de fora” é \(h(x) = \ln x\).
\[ f'(x) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} \]
\[ g'(x) = 12x^3 \]
\[ f'(x) = \frac{12x^3}{3x^4 + 1} \]
A derivada da função \(f(x)\) no ponto \(a = 1\) é:
\[ f'(1) = \frac{12 \cdot 1^3}{3 \cdot 1^4 + 1} = \frac{12}{4} = 3 \]
Portanto, o limite é:
\[ \lim_{x \to 1} \frac{\ln (3x^4 + 1) - \ln 4}{x-1} = 3 \]
TO DO - 4.
\[ \lim_{x \to 5} \frac{\tan x - \tan 5}{\sin x - \sin 5} \]
O formato faz pensar no uso de derivadas. Porém precisamos fazer algumas manipulações.
Lembrando que \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), podemos reescrever o limite como:
\[ \lim_{x \to 5} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin 5}{\cos 5}}{\sin x - \sin 5} \]
Vamos dividir em cima e embaixo por (???).
Pedir anotações para o Gabriel, eu cheguei atrasada neste dia e perdi a explicação!
Lembremos: Segundo limite fundamental
Importante
\[ 1 = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]
Importante
\[ e = \lim_{x \to 0^+} (1 + h)^\frac{1}{h} = \lim_{h \to 0^-} (1 + h)^\frac{1}{h} \]
P44. Calcule, caso existam, os limites abaixo:
1. Segundo limite fundamental, mudança de variável
\[ \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^x \]
Podemos usar o segundo limite fundamental.
Mudança de variável.
Seja \(\frac{1}{x} = h\), então \(x = \frac{1}{h}\) e \(x \to +\infty\) implica que \(h \to 0^+\).
\[ = \lim_{h \to 0^+} (1 + h)^{\frac{1}{h}} \]
Pelo segundo limite fundamental, temos que:
\[ = \lim_{h \to 0^+} (1 + h)^{\frac{1}{h}} = e \]
2. Segundo limite fundamental, mudança de variável
\[ \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{4}{x})^{x} \]
Podemos usar o segundo limite fundamental.
Vamos fazer uma mudança de variável.
Seja \(\frac{1}{u} = \frac{4}{x}\), então \(x = 4u\) e \(x \to +\infty\) implica que \(u \to 0^+\).
\[ = \lim_{u \to 0^+} (1 + \frac{1}{u})^{4u} \] \[ = \lim_{u \to 0^+} [\cancelto{\space e}{(1 + \frac{1}{u})^{u}}]^4 = e^4 \]
3. Segundo limite fundamental, mudança de variável
\[ \lim_{x \to +\infty} (\frac{x+3}{x+2})^{x+3} \]
\[ = \lim_{x \to +\infty} (\frac{x+2 + 1}{x+2})^{x+3} \]
\[ = \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x+2})^{x+3} \]
Mudança de variável.
Seja \(\frac{1}{u} = \frac{1}{x+2}\), então \(u = x + 2\) e \(x = u - 2\). Portanto \(x + 3 = u + 1\).
\[ = \lim_{u \to +\infty} (1 + \frac{1}{u})^{u + 1} \]
\[ = \lim_{u \to +\infty} \cancelto{\space e}{(1 + \frac{1}{u})^{u}} \cdot \cancelto{\space 1}{(1 + \frac{1}{u})^{1}} \]
\[ = e \cdot 1 = e \]
4. Segundo limite fundamental, mudança de variável
\[ \lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} \]
Podemos fazer uma mudança de variável para chegar no segundo limite fundamental.
Seja \(\frac{1}{x} = h\), logo \(x = \frac{1}{h}\) e \(x \to -\infty\) implica que \(h \to 0^-\).
\[ = \lim_{h \to 0^-} (1 + h)^{\frac{1}{h}} \]
\[ = \lim_{h \to 0^-} \cancelto{e}{(1 + h)^{\frac{1}{h}}} = e \]
5. Segundo limite fundamental, primeiro limite fundamental, mudança de variável
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^3} - 1}{\sin^3 x} \]
Vamos dividir em cima e embaixo por \(x^3\):
\[ =\lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x^3} - 1}{x^3}}{\frac{\sin^3 x}{x^3}} \]
Resolver separadamente!
Numerador:
\[ =\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^3} - 1}{x^3} \] Mudança de variável:
Seja \(u = x^3\), logo \(x = u^{\frac{1}{3}}\) e \(x \to 0\) implica que \(u \to 0\).
\[ =\lim_{u \to 0} \frac{e^{u} - 1}{u} = 1 \]
Denominador:
\[ =\lim_{x \to 0} \frac{\sin^3 x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^3 = 1^3 = 1 \]
Resultado
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^3} - 1}{\sin^3 x} = \frac{1}{1} = 1 \]
P45. Seja \(f(x) =\) …
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\frac{1}{x}, & \text{se } x \neq 0, \\ 0, & \text{se } x = 0. \end{cases} \]
Importante
O professor disse que terá um exercício semelhante na prova.
1. \(f\) é contínua em \(x = 0\)?
Verificar essas três condições:
Qual é o valor de \(f(0)\) ?
Qual é limite \(\lim_{x \to 0} f(x)\) ?
\(\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)\) ?
Resolvendo:
\(f(0) = 0\)
\[ \lim_{x \to 0} x^2 \sin\frac{1}{x} \]
Como \(\lim_{x \to 0} x^2 = 0\) e \(g(x) = \sin \frac{1}{x}\) é limitada, pois \(|\sin \frac{1}{x}| \leq 1, \forall x \neq 0\), segue pelo teorema da função limitada (T.F.L.) que o limite acima existe e vale zero.
\[ \lim_{x \to 0} x^2 \sin\frac{1}{x} = 0 \]
- \[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0 \]
Logo \(f\) é contínua em \(x = 0\).
2. \(f\) é contínua em \(x \neq 0\)?
Se \(x \neq 0\), então \(f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}\).
A função \(f(x)\) é contínua em \(x \neq 0\) pois é o produto, composta e quociente de funções contínuas com denominador não nulo.
3. \(f\) é derivável em \(x = 0\)?
\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \]
\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} x \cdot \sin\frac{1}{x} \]
Para encontrar este limite vamos usar o teorema da função limitada!
Como \(\lim_{x \to 0} x = 0\) e \(g(x) = \sin \frac{1}{x}\) é limitada, pois \(|\sin \frac{1}{x}| \leq 1, \forall x \neq 0\), segue pelo teorema da função limitada (T.F.L.) que o limite acima existe e vale zero.
Portanto, a função \(f\) é derivável em \(x = 0\).
4. \(f\) é derivável em \(x \neq 0\)?
Se \(x \neq 0\), então \(f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}\).
A função \(f(x)\) é derivável em \(x \neq 0\) pois é o produto, composta e quociente de funções deriváveis com denominador não nulo.