15  Limites

Lista 1

1. Calcule os limites abaixo:

1. Primeiro limite fundamental, racionalização, fatoração

Ele resolveu em sala (na aula 7). Mas tive que sair para uma chamada e perdi. A forma a seguir é como eu tentei resolver, mas não sei se está igual à resolução do professor.

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+25}-5}{x \cdot \sin x} \]

Temos \(\sin x\), então podemos usar o primeiro limite fundamental do cálculo. Mas ainda não está na forma que precisamos.

Vamos tentar destruir a raíz quadrada primeiro!

Lembrando da técnica de fatoração de diferença de quadrados: \[ (a^2 - b^2) = (a-b)(a+b) \]

Vamos considerar que:

• \(a = \sqrt{x^2 + 25}\)
• \(b = 5\)

Podemos multiplicar em cima e em baixo por \(a + b\), ou seja, \(\sqrt{x^2 + 25} + 5\).

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+25}-5}{x \cdot \sin x} \color{red}{\cdot \frac{\sqrt{x^2+25}+5}{\sqrt{x^2+25}+5}} \]

Vamos fazer usar a técnica de fatoração de diferença de quadrados:

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x^2+25})^2 - 5^2}{x \cdot \sin x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+25}+5} \]

Vamos chamar \(\sqrt{x^2+25}+5\) de \(c\). Assim vai ficar mais fácil de entender.

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{x^2+ 25 - 25}{x \cdot \sin x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{c}} \]

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x \cdot \sin x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{c}} \]

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \cancel{x}}{\cancel{x} \cdot \sin x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{c}} \]

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{c}} \]

Agora vamos dividir em cima e em baixo por \(x\) (assim ficaremos mais perto do primeiro limite fundamental):

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\color{red}{x}}}{\frac{ \sin x}{\color{red}{x}}}\cdot \frac{1}{\color{blue}{c}} \] Agora podemos usar o primeiro limite fundamental:

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{c}} \]

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cancelto{1}{\frac{\sin x}{x}}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{c}} \] \[ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\color{blue}{c}} \]

Agora vamos substituir o \(c\):

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{x^2+25}+5}} \]

Podemos usar a intuição:

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{\cancelto{0}{x^2}+25}+5} \]

\[ = \frac{1}{\sqrt{25}+5} = \frac{1}{5+5} = \frac{1}{10} \]

2. Racionalização, fatoração

\[ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}} \]

Com \(x \to 1\), temos que \(\sqrt{2x+3}-\sqrt{5} \to 0\). Não podemos substituir diretamente, pois dá indeterminação (neste caso, dividir por zero). Além disso, com \(x \to 1\), temos \(\sqrt{x-1} \to 0\), e não podemos substituir diretamente.

Vamos precisar destruir raízes.

Lembrando que: \[ (a^2 - b^2) = (a-b)(a+b) \]

Vamos multiplicar em cima e em baixo por \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\) e \(\sqrt{x}+1\).

\[ = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}} \color{blue}{\cdot \frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}}\color{red}{\cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}} \] Agora podemos fatorar a diferença de quadrados:

\[ = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x})^2 - 1^2}{(\sqrt{2x+3})^2-(\sqrt{5})^2} \cdot \frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{\sqrt{x} + 1} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)}{(2x+3-5)} \cdot \frac{(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)}{(2x-2)} \cdot \frac{(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{x} + 1)} \]

Fatorar:

\[ = \lim_{x \to 1} \frac{\cancel{(x - 1)}}{2\cancel{\cdot(x-1)}} \cdot \frac{(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{1}{2} \cdot \frac{(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{x} + 1)} \]

Vamos tentar a intuição (substituição direta):

\[ = \lim_{x \to 1} \frac{1}{2} \cdot \frac{ \cancelto{\sqrt{5}}{(\sqrt{2x+3})}+\sqrt{5} }{ (\cancelto{1}{\sqrt{x}} + 1) } \]

\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{ \cancel{2} \sqrt{5} }{ \cancel{2} } = \frac{\sqrt{5}}{2} \]

3. Fatoração, Limites laterais

\[ \lim_{x \to 1} \frac{2x+1}{x^2+2x-3} \]

Não podemos substituir diretamente, pois dá indeterminação: \(1^2 + 2*1 - 3 = 0\) (neste caso, dividir por zero).

Vamos fatorar o denominador:

\[ = \lim_{x \to 1} \frac{2x+1}{(x + 3) \cdot (x - 1)} \]

Como \(x \to 1\) e temos um \(x - 1\) no denominador, isso causa uma indeterminação (neste caso, dividir por zero, pois o \(x - 1\) está multiplicando).

Vamos utilizar a técnica dos limites laterais.

Vamos fazer o limite lateral à esquerda:

\[ = \lim_{x \to 1^-} \frac{2x+1}{(x + 3) \cdot (x - 1)} \] \[ = \lim_{x \to 1^-} \frac{\cancelto{3}{2x+1}}{\cancelto{4}{(x + 3)} \cdot \cancelto{0^-}{(x - 1)}} = - \infty \]

Explicação acima: O denominador está tendendo para o zero negativo, e o numerador está tendendo para 3. Então, o limite lateral à esquerda é \(-\infty\).

Agora vamos fazer o limite lateral à direita:

\[ \lim_{x \to 1^+} \frac{2x+1}{(x + 3) \cdot (x - 1)} \] \[ = \lim_{x \to 1^+} \frac{\cancelto{3}{2x+1}}{\cancelto{4}{(x + 3)} \cdot \cancelto{0^+}{(x - 1)}} = + \infty \]

Explicação acima: O denominador está tendendo para o zero positivo, e o numerador está tendendo para 3. Então, o limite lateral à esquerda é \(+\infty\).

Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe.

\[ \nexists \lim_{x \to 1} \frac{2x+1}{x^2+2x-3} \]

4. Mudança de variável, fatoração

\[ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[4]{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1} \]

Não podemos substituir diretamente, pois dá indeterminação: \(\frac{0}{0}\).

Mudança de variável: \(x = y^{12}\)

\[ = \lim_{y \to 1} \frac{y^3 - 1}{y ^4 - 1} \]

\[ = \lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (y ^2 + y + 1)}{(y-1) (y+1) (y ^2 + 1)} \]

\[ = \lim_{y \to 1} \frac{\cancel{(y - 1)} (y ^2 + y + 1)}{\cancel{(y-1)} (y+1) (y ^2 + 1)} \]

Usando a intuição:

\[ = \lim_{y \to 1} \frac{\cancelto{3}{(y ^2 + y + 1)}}{\cancelto{2}{(y+1)} \cancelto{2}{(y ^2 + 1)}} = \frac{3}{4} \]

5. Limite lateral (módulo)

\[ \lim_{x \to 1^+} \frac{|x-1|}{x-1} \]

Como temos módulo, poderíamos fazer os limites laterais. Porém, neste caso, o \(x\) está tendendo à direita, ou seja, \(x \to 1^+\) (então já é um limite lateral).

Considerar que, com \(x \to 1^+\), então \(|x-1| > 0\). Então podemos substituir o \(|x-1|\) por \(x-1\).

\[ = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-1}{x-1} \]

\[ = \lim_{x \to 1^+} \frac{\cancel{x-1}}{\cancel{x-1}}=1 \]

6. Fatoração

\[ \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2-2x}{x^2-4x+4} \] Não podemos substituir diretamente, pois dá indeterminação: \(2^2 - 4*2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0\).

Vamos fatorar o numerador e o denominador:

\[ = \lim_{x \to 2^-} \frac{x \cdot (x-2)}{(x-2)\cdot(x - 2)} \]

\[ = \lim_{x \to 2^-} \frac{x \cdot \cancel{(x-2)}}{(x-2)\cdot \cancel{(x - 2)}} \]

\[ = \lim_{x \to 2^-} \frac{x}{(x-2)} \]

Agora podemos usar a intuição:

\[ = \lim_{x \to 2^-} \frac{\cancelto{2}{x}}{\cancelto{0^-}{(x-2)}} = - \infty \]

7. Primeiro limite fundamental, substituição de variável, Produto de limites

\[ \lim_{x \to 3} \frac{\sin(x^2-5x+6)}{x-3} \]

Temos a função seno, isso indica que podemos usar o limite fundamental.

Vamos fatorar!

\[ = \lim_{x \to 3} \frac{\sin((x - 2)(x - 3))}{x-3} \]

Vamos multiplicar em cima e em baixo por \((x - 2)\):

\[ = \lim_{x \to 3} \frac{\sin((x - 2)(x - 3))}{x-3} \cdot \color{red}{\frac{(x - 2)}{(x - 2)}} \]

Vamos reorganizar para ficar mais claro:

\[ = \lim_{x \to 3} \frac{\sin((x - 2)(x - 3))}{(x - 2)(x-3)} \cdot \frac{(x - 2)}{1} \]

Existe uma propriedade que diz que o limite de um produto é o produto dos limites, caso os limites existam.

\[ lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \left( \lim_{x \to a} f(x) \right) \cdot \left( \lim_{x \to a} g(x) \right) \] Podemos então separar os limites:

Primeiro limite fundamental

\[ = \lim_{x \to 3} \frac{\sin((x - 2)(x - 3))}{(x - 2)(x-3)} \]

Mudança de variável: \(u = (x - 3).(x-2)\)

Quando \(x \to 3\), temos que \(u \to 0\).

Precisamos reescrever tudo em função de \(u\):

\[ = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 \]

Substituição direta

\[ \lim_{x \to 3} (x - 2) = 1 \]

Resposta final

\[ = \lim_{x \to 3} \cancelto{1}{\frac{\sin((x - 2)(x - 3))}{(x - 2)(x-3)}} \cdot \cancelto{1}{(x - 2)} = 1 \]

8. Primeiro limite fundamental, substituição de variável, fatoração

\[ \lim_{x \to 4} \frac{\tan(x-4)}{x^2-16} \]

A tangente pode ser transformada na função seno, e aí podemos utilizar o limite fundamental.

Lembrando que: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]

Para ficar mais fácil, podemos reescrever:

\[ = \lim_{x \to 4} \frac{\tan(x-4)}{1} \cdot \frac{1}{x^2-16} \]

Podemos substituir a tangente por seno e cosseno, e fatorar o denominador:

\[ = \lim_{x \to 4} \frac{\sin(x-4)}{\cos(x-4)} \cdot \frac{1}{x^2-16} \]

Vamos fatorar o \(x^2 - 16\):

\[ = \lim_{x \to 4} \frac{\sin(x-4)}{\cos(x-4)} \cdot \frac{1}{(x - 4)(x + 4)} \] Podemos reescrever para facilitar encontrar o limite fundamental:

\[ = \lim_{x \to 4} \frac{\sin(x-4)}{(x - 4)} \cdot \frac{1}{\cos(x-4) \cdot (x + 4)} \]

O limite de produto é o produto dos limites, caso os limites existam.

Vamos separar em duas partes!

Parte 1 - Limite fundamental

\[ \lim_{x \to 4} \frac{\sin(x-4)}{(x - 4)} \]

Vamos fazer a substituição de variável \(u = x - 4\):

Quando \(x \to 4\), temos que \(u \to 0\).

Podemos usar o primeiro limite fundamental:

\[ = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 \]

Parte 2 - Substituição direta

\[ = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\cos(x-4) \cdot (x + 4)} \] \[ = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\cancelto{1}{\cos(x-4)} \cdot \cancelto{8}{(x + 4)}} = \frac{1}{8} \] #### Resposta final

\[ = \lim_{x \to 4} \cancelto{1}{\frac{\sin(x-4)}{(x - 4)}} \cdot \cancelto{\frac{1}{8}}{\frac{1}{\cos(x-4) \cdot (x + 4)}} = \frac{1}{8} \]

9. TO DO

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{3x} \]

10. Polinômios

\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{8x^2+1}{3x^3+8x+2} \]

\[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 \cdot (8 +\frac{1}{x^2})}{x^2 \cdot (3x+\frac{8}{x}+\frac{2}{x^2})} \]

\[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{\cancel{x^2} \cdot (8 +\frac{1}{x^2})}{\cancel{x^2} \cdot (3x+\frac{8}{x}+\frac{2}{x^2})} \]

\[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{\cancel{x^2} \cdot (8 +\frac{1}{x^2})}{\cancel{x^2} \cdot (3x+\frac{8}{x}+\frac{2}{x^2})} \]

\[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{8 + \cancelto{0^-}{\frac{1}{x^2}}}{ \cancelto{-\infty}{3x}+\cancelto{0^-}{\frac{8}{x}}+ \cancelto{0^-}{\frac{2}{x^2}}} = 0 \]

11. Racionalização, fatoração

\[ \lim_{x \to +\infty} x-\sqrt{x^2+3x} \]

Precisamos destruir as raízes.

Lembrando que: \((a−b)(a+b)=a^2−b^2\)

Sendo:

• \(a=x\)

• \(b=\sqrt{x^2+3x}\)

\[ =\lim_{x \to +\infty} x-\sqrt{x^2+3x} \color{red}{\cdot \frac{x+\sqrt{x^2+3x}}{x+\sqrt{x^2+3x}}} \] \[ =\lim_{x \to +\infty} x^2 - (\sqrt{x^2+3x})^2 \cdot \frac{1}{x+\sqrt{x^2+3x}} \] \[ =\lim_{x \to +\infty} \cancel{x^2} - (\cancel{x^2} + 3x) \cdot \frac{1}{x+\sqrt{x^2+3x}} \]

\[ =\lim_{x \to +\infty} \frac{-3x }{x+\sqrt{x^2+3x}} \]

Vamos tentar deixar o \(x\) do denominador em evidência, assim podemos cancelar.

O Julio me ajudou nessa parte, estava com dificuldade. Mas é álgebra, e não cálculo.

Para isso, precisamos “tirar” o \(x\) da raíz quadrada (que está no denominador).

\[ =\lim_{x \to +\infty} \frac{x \cdot (-3)}{x+\sqrt{x^2\cdot(1 + \frac{3}{x})}} \] \[ =\lim_{x \to +\infty} \frac{x \cdot (-3)}{x+ x \cdot \sqrt{1 + \frac{3}{x}}} \]

\[ =\lim_{x \to +\infty} \frac{x \cdot (-3)}{x \cdot (1 + \sqrt{1 + \frac{3}{x})}} \] \[ =\lim_{x \to +\infty} \frac{\cancel{x} \cdot (-3)}{\cancel{x} \cdot (1 + \sqrt{1 + \frac{3}{x})}} \]

Vamos utilizar a intuição:

\[ =\lim_{x \to +\infty} \frac{ (-3)}{(1 + \sqrt{1 + \cancelto{0^+}{\frac{3}{x})}}} = \frac{-3}{2} \]

12. TO DO

\[ \lim_{x \to 0} \frac{8x+\tan x}{7x-\tan x} \]

13. TO DO

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\left(x^2+4\right)^{3/2}} \]

14. TO DO

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x+\sqrt{x+3}}{2x-1} \]

15. Racionalização

\[ \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right) \]

Lembrando de como trabalhar com a diferença de quadrados: \[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \]

Considerando :

• \(a = \sqrt{x+1}\)

• \(b = \sqrt{x}\)

\[ \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right) \color{red}{\cdot \frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x+1})^2 - (\sqrt{x})^2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \] Podemos tirar da raíz quadrada: \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \]

\[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{\cancel{x}+1 - \cancel{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \]

\[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \]

Podemos usar a intuição:

\[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\cancelto{+\infty}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}} = 0 \]

16. Intuição

\[ \lim_{x \to 6^-} \frac{1}{x-6} \]

\[ = \lim_{x \to 6^-} \frac{1}{\cancelto{0^-}{x-6}} = -\infty \]

17. Primeiro limite fundamental, fatoração, substituição de variável, produto de limites

\[ \lim_{x \to 7} \frac{\sin(x^2-49)}{x-7} \]

• Tem a função seno! Significa que precisamos usar o primeiro limite fundamental do cálculo.

• Como chegar nisso? Dica do prof: multiplicar em cima e em baixo por \(x^2-49\).

\[ = \lim_{x \to 7} \frac{\sin(x^2-49)}{x-7} \color{red}{ \cdot \frac{x^2-49}{x^2-49}} \]

Podemos reorganizar:

\[ = \lim_{x \to 7} \frac{\sin(x^2-49)}{x^2-49} \cdot \frac{x^2-49}{x-7} \] Precisamos fazer uma mudança de variável (pois no primeiro limite fundamental o x tende à 0, mas neste caso o x está tendendo à 7).

Vamos fatorar o \(x^2 - 49\):

\[ = \lim_{x \to 7} \frac{\sin((x-7)(x+7))}{(x-7)(x+7)} \cdot \frac{(x-7)(x+7)}{x-7} \] E simplificar:

\[ = \lim_{x \to 7} \frac{\sin((x-7)(x+7))}{(x-7)(x+7)} \cdot \frac{(x+7)\cancel{(x-7)}}{\cancel{x-7}} \] \[ = \lim_{x \to 7} \frac{\sin((x-7)(x+7))}{(x-7)(x+7)} \cdot (x+7) \]

Existe uma propriedade que diz que o limite de um produto é o produto dos limites, caso os limites existam.

\[ lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \left( \lim_{x \to a} f(x) \right) \cdot \left( \lim_{x \to a} g(x) \right) \]

Ou seja:

\[ =\lim_{x \to 7} \frac{\sin((x-7)(x+7))}{(x-7)(x+7)} \cdot (x+7) \] \[ = \left[ \lim_{x \to 7} \frac{\sin((x-7)(x+7))}{(x-7)(x+7)} \right] \cdot \left[ \lim_{x \to 7} (x+7) \right] \]

Vou calcular cada limite separadamente!

Parte 1 - Limite fundamental

\[ = \lim_{x \to 7} \frac{\sin((x-7)(x+7))}{(x-7)(x+7)} \]

Agora, vamos fazer a mudança de variável.

\[u = (x -7)(x+7)\]

Quando \(x \to 7\):

• \(u = (x-7)(x+7) = (7 - 7)(7+7) = 0 \cdot 14 = 0\).

• Então \(u \to 0\) quando \(x \to 7\).

Para substituir o \(x\) por \(u\), precisamos expressar \(x\) em função de \(u\).

\[ = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 \]

Parte 2 - Substituição direta

\[ = \lim_{x \to 7} (x+7) = 14 \]

Resposta final

\[ = \lim_{x \to 7} \cancelto{1}{\frac{\sin((x-7)(x+7))}{(x-7)(x+7)}} \cdot \cancelto{14}{(x+7)} = 14 \]

18. TO DO - Derivada

\[ \lim_{x \to 4} \frac{\tan x - \tan 4}{\sin x - \sin 4} \]

Fazer por derivada. Para chegar no formato, vamos dividir em cima e em baixo por \(x - 4\).

19. Primeiro limite fundamental + Teorema da função limitada

Exercício resolvido em sala de aula!

\[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot \sin\frac{1}{x}}{\sin x} \]

Vamos tentar chegar até o primeiro limite fundamental do cálculo: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\).

Vamos dividir a parte de cima e de baixo por \(x\):

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2 \cdot \sin\frac{1}{x}}{x}}{\frac{\sin x}{x}} \]

Encontramos o limite fundamental!

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \sin\frac{1}{x}}{\cancelto{1}{\frac{\sin x}{x}}} \]

\[ = \lim_{x \to 0} x \cdot \sin\frac{1}{x} \]

\(\sin \frac{1}{x}\) é limitada pois \(|\sin \frac{1}{x}| \leq 1, \forall x \neq 0\).

\[ = \lim_{x \to 0} \cancelto{0}{x} \cdot \sin\frac{1}{x} \]

Importante

Como \(\lim_{x \to 0} x = 0\) e \(g(x) = \sin \frac{1}{x}\) é limitada, pois \(|\sin \frac{1}{x}| \leq 1, \forall x \neq 0\), logo pelo teorema da função limitada (T.F.L.), o limite acima existe e vale zero.

\[ = \lim_{x \to 0} x \cdot \sin\frac{1}{x} = 0 \]

20. TO DO

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} \]

21. TO DO

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^3}-1}{\sin 3x} \]

22. TO DO - FAZER

\[ \lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{3}{1-x^3}\right) \]

tirei foto da resolução 17/04/2025.

23. TO DO - FAZER

\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}} \]

Não podemos fazer a substituição direta, pois dá indeterminação (\(x- \frac{\pi}{2} = 0\)).

Temos o \(\cos x\), então podemos tentar usar o primeiro limite fundamental.

Fazer uma mudança de variável. Precisamos que o limite esteja com \(x \to 0\).

\[u = x - \frac{\pi}{2}\]

Quando \(x \to \frac{\pi}{2}\), \(u = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0\)

\(x = u + \frac{\pi}{2}\)

\[ = \lim_{u \to 0} \frac{\cos (u + \frac{\pi}{2})}{u} \]

TO DO: MELHORAR AS EXPLICAÇÕES DOS PASSOS AQUI

\[\cos (a) = \sin (a + \frac{\pi}{2})\]

Substituindo:

\[ = \lim_{u \to 0} \frac{\sin (u + \frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{2})}{u} \\ = \lim_{u \to 0} \frac{\sin (u + \pi)}{u} \]

\[ \sin(u + \pi) = -1 . \sin u \]

Usando o primeiro limite fundamental: \[ = \lim_{u \to 0} -1 \cdot \cancelto{1}{\frac{\sin u}{u}} = -1 \]

24. TO DO

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^5+2x-9}{\sqrt{x^6+x+1}} \]

25. TO DO

\[ \lim_{x \to 2} \frac{1}{x^2-5x+6} \]

26. Fatoração

\[ \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)^2}{x^3+1} \]

Podemos entender o denominador como uma soma de cubos: \(x^3+1 = x^3 + 1^3\).

Lembrando que: \[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\]

Substituindo, temos:

\[ \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)\cdot(x+1) }{(x + 1) \cdot (x^2 - x + 1)} \]

\[ \lim_{x \to -1} \frac{\cancel{(x+1)}\cdot(x+1) }{\cancel{(x + 1)} \cdot (x^2 - x + 1)} \] \[ \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)}{(x^2 - x + 1)} \]

Podemos fazer a substituição direta (intuição):

\[ \lim_{x \to -1} \frac{\cancelto{0}{(x+1)}}{ \cancelto{3}{(x^2 - x + 1)}} = 0 \]

27. Segundo limite fundamental, mudança de variável

\[ \lim_{x \to +\infty} \left(1+\frac{7}{x}\right)^x \]

Vamos utilizar o segundo limite fundamental:

\[ e = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \]

Vamos fazer uma mudança de variável. Seja:

\[ \frac{7}{x} = \frac{1}{u} \rightarrow x = 7u \]

Quando \(x \to +\infty\), \(u \to +\infty\).

\[ = \lim_{u \to +\infty} \left(1+\frac{1}{u}\right)^{7u} \]

Manipulação de expoentes:

\[ = \lim_{u \to +\infty} \left[\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u}\right]^7 \]

Utilizando o segundo limite fundamental:

\[ = \lim_{u \to +\infty} \left[\cancelto{\space e}{\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u}}\right]^7 = e^7 \]

28. TO DO

\[ \lim_{x \to 0} \cos \frac{1}{x} \cdot{\sin(x^2)} \]

29. TO DO

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^5+2x-8}{\sqrt{x^2+2}} \]

30. Limites laterais

\[ \lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \]

Nesse caso, não podemos fazer a substituição direta, pois dá indeterminação: \(1/(2-2) = 1/0\).

Vamos fazer os limites laterais.

\[ =\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{\cancelto{0^-}{x-2}} = -\infty \] \[ =\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{\cancelto{0^+}{x-2}} = +\infty \] Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe.

\[ \nexists \lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \]

31. Intuição

\[ \lim_{x \to 5^+} \frac{1}{x-5} \]

\[ =\lim_{x \to 5^+} \frac{1}{\cancelto{0^+}{x-5}} = +\infty \]

32. TO DO - Polinômios

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^4-7x+2}{4x^3+7x+4} \]

\[ =\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3\cdot(3x - 7/x^2 + 2/x^3)} {x^3 \cdot (4 + 7/x^2 + 4/x^3)} \]

\[ =\lim_{x \to +\infty} \frac{\cancel{x^3} \cdot(3x - 7/x^2 + 2/x^3)} {\cancel{x^3} \cdot (4 + 7/x^2 + 4/x^3)} \]

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