7 Limites de funções limitadas
Anotações das aulas
Definição
Dizemos que uma função \(f(x)\) é limitada se o gráfico dela está compreendido entre duas retas paralelas ao eixo \(x\). Equivalentemente, se existe \(M>0\) tal que \(|f(x)| \leq M\) para todo \(x\) no domínio de \(f\).
Técnica 5 para cálculo de limites - Teorema da função limitada
Sejam \(f(x)\) e \(g(x)\) funções tais que \(\lim_{x \to p} f(x) = 0\) e \(g(x)\) é limitada. Então,
\[ \lim_{x \to p} f(x) \cdot g(x) = 0\]
Exemplo
\[ \lim_{x \to 0} \space x^7 \cdot \sin \frac{1}{x} \]
Neste caso, \(f(x) = x^7\) e \(g(x) = \sin \frac{1}{x}\).
\[ \lim_{x \to 0} \space \cancelto{ 0}{x^7} \cdot \sin \frac{1}{x} \]
Como \(\lim_{x \to 0} x^7 = 0\) e \(g(x) = \sin \frac{1}{x}\) é limitada pois \(| \sin \frac{1}{x} | \leq 1, \forall x \neq 0\), logo pelo teorema da função limitada (T.F.L.), o limite acima existe e vale zero.
P15) Função limitada - REVISAR
Seja \(y = f(x)\) uma função tal que \(\lim_{x \to p} f(x) = 0\) e \(y=g(x)\) uma função limitada. Mostre que existe \(\lim_{x \to p} f(x) . g(x)\) e vale zero.
\[ \lim_{x \to p} f(x) \cdot g(x) \] \[ \exists M>0, |g(x)| \leq M, \forall x \in D_g \]
\[ |f(x) \cdot g(x)| = |f(x)| \cdot |g(x)| \leq \cancelto{0}{\cancelto{0}{|f(x)|} \cdot M} \]
Mas:
\[ |f(x)| \cdot |g(x)| \leq f(x) \cdot M \]
P16) Quais funções abaixo são limitadas?
1) \(f(x) = \sin x\)
\[-1 \leq \sin x \leq 1\] \[| \sin x | \leq 1\] É uma função limitada.
2) \(f(x) = \sin \frac{1}{x}\)
\[| \sin \frac{1}{x} | \leq 1\]
É uma função limitada.
3) \(f(x) = \sin (x^2)\) - REVISAR
\[ | \sin (x^2) | \leq 1, \forall \space x \in \mathbb{R}\]
4) \(f(x) = 712 \cdot \sin x\) - REVISAR
\[| 712 \cdot \sin x | = 712 \cdot |\sin x| \leq 712\]
É uma função limitada.
5) \(f(x) = \cos x\)
\[-1 \leq \cos x \leq 1\] \[| \cos x | \leq 1\] É uma função limitada.
6) \(f(x) = \tan x\)
Não é uma função limitada.
